一、解答题
2
1．一个单项式加上多项式9(x-1)-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．
2．x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．
3．若我们规定三角“
”表示为：abc；方框“
”表示为：(x+y)．例如：
m
n
=1×19×3÷(24+31)=3．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算：= ．
(2)代数式为完全平方式，则k= ．
(3)解方程：
=6x2+7．
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4．我们把形如X2(其中X是一个整式)的式子叫完全平方式，如(2x+y-3)2就是一个完全平方式，设多项式A=(a2+1)(b2+1)-4ab．
(1)试将多项式A写成两个完全平方式和的形式．
(2)令A=0，写出a，b取值的所有可能的结果．
5．一个二次三项式的完全平方式是4x4+4x3+ax2-6x+b，求这个二次三项式．
6．将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．
7．定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的自然数组，如(3，6)为两个数的自然数组，因为(3×6)能被(3+6)整除；又如(15，30，60)为三个数的自然数组，因为(15×30)能被(15+30)整除，(15×60)能被(15+60)整除，(30×60)能被(30+60)整除… (1)求证：2n和n(n-2)(n≥3，n为整数)组成的数组是两个数的自然数组．
(2)若(4a，5a，6a)是三个数的自然数组，求满足条件的三位正整数a，并判断(4a+5，5a+5，6a+5)是否为自然数组．
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因式分解专项练习
试卷答案
一、解答题
1．【答案】解：∵9(x-1)2-2x-5=9x2-20x+4，
又∵个单项式加上9(x-1)2-2x-5后等于一个整式的平方， ∴此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项， ①∵9𝑥2−20𝑥+4+64=(3𝑥−10)，故此单项式是9；
9
3
2
64
②∵9x2-20x+4+8x=(3x-2)2，故此单项式是8x； ∵9x2-20x+4+32x=(3x+2)2，故此单项式是32x； ③∵9x2-20x+4+16x2=(5x-2)2，故此单项式是16x2； 这样的单项式是9、8x、32x、16x2．
【解析】先化简原式，得到9x2-20x+4，由于一个单项式加上多项式9(x-1)2-2x-5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可． 2．【答案】解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方， 那么有x2+y+1=(x+1)2，y2+4x+3=(y+√3)2， ∴y=2x，4𝑥=2√3𝑦， 即y=2x，𝑥=√𝑦，
2364
又∵x、y是自然数， ∴√𝑦必是无理数，
23∴与已知矛盾，
故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．
【解析】先假设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而可求y=2x，𝑥=√𝑦，而xy是
23自然数，则√𝑦必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证．
2
33．【答案】(1)−2 (2)±3 (3)解：
=6x2+7，
3
(3x-2)(3x+2)]-[(x+2)(3x-2)+32]=6x2+7， 解得x=-4．
【解析】(1)
=[2×(-3)×1]÷[(-1)4+31] =-6÷4
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=−； 2
3
(2)
=[x2+(3y)2]+xk·2y =x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k=±6， 解得k=±3．
故答案为：−2；±3；
(3)根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解． 4．【答案】(1)解：A=(a2+1)(b2+1)-4ab =a2b2+a2+b2+1-4ab =a2b2-2ab+1+(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2．
(2)解：A=(ab-1)2+(a-b)2=0， 所以{
𝑎𝑏−1=0
，
𝑎−𝑏=0
𝑎=1𝑎=−1
或{． 𝑏=1𝑏=−1
3
解得：{
【解析】(1)直接利用完全平方公式计算原式变形得出答案； (2)直接得出关于a，b的等式进而得出答案． 5．【答案】解：令4x4+4x3+ax2-6x+b=(2x2+mx+n)2，则 4x4+4x3+ax2-6x+b=4x4+4mx3+(m2+4n)x2+2mnx+n2， ∴4m=4，2mn=-6， 解得m=1，n=-3，
∴这个二次三项式是2x2+x-3．
【解析】令4x4+4x3+ax2-6x+b=(2x2+mx+n)2，把(2x2+mx+n)2展开后根据次数相等的项的系数相等，得出m，n的值即可． 6．【答案】解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是： 添加4x，得4x2+1+4x=(2x+1)2； 添加-4x，得4x2+1-4x=(2x-1)2； 添加4x4，得4x2+1+4x4=(2x2+1)2； 添加-4x2，得4x2+1-4x2=12； 添加-1，得4x2+1-1=(2x)2．
【解析】因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x2是平方项，是乘积二倍项的情况利用完全平方公式添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可．
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7．【答案】(1)解：∵2n·n(n-2)÷[2n+n(n-2)]＝2n2(n-2)÷n2＝2(n-2)， ∴2n和n(n-2)(n≥2，n为整数)组成的数组是两个数的自然数组． (2)解：∵(4a，5a，6a)是三个数的自然数组，
4𝑎⋅5𝑎9𝑎
=
209
𝑎，
5𝑎⋅6𝑎11𝑎
=
3011
𝑎，
4𝑎⋅6𝑎10𝑎
=
12𝑎5
，a是正整数，
∴a是5，9，11的倍数， ∴a为495或990；
当a＝495时，对于(4a+5，5a+5，6a+5)三个数组成的数组，
(4𝑎+5)⋅(5𝑎+5)
9𝑎+10
=
1985×24804456
不能整除，
∴此时不是自然数组，
当a＝990时，对于(4a+5，5a+5，6a+5)三个数组成的数组，
(4𝑎+5)×(5𝑎+5)
9𝑎+10
=
3695×49558920
，不能整除，
∴此时不是自然数组，
综上所述，(4a+5，5a+5，6a+5)不是自然数组．
【解析】(1)计算2n和n(n-2)的积与和，进行相除分析即可；
(2)分别计算4a，5a，6a两两相乘的积与两两相加的和，并进行综合分析即可确定a的正整数值，把所求的a的值再代入4a+5，5a+5，6a+5中进行分析即可．
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