历年高考数学真题精选36 椭圆

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题36 椭圆（学生版）

一．选择题（共12小题）

x2y211．（2019•北京）已知椭圆221(ab0)的离心率为，则( )

ab2A．a22b2

B．3a24b2

C．a2b

D．3a4b

x2y2342．（2018•全国）已知椭圆221过点(4,)和(3,)，则椭圆离心率e( )

ab55A．26 5B．6 51C．

5D．

2 5x2y23．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C:21的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )

a41A．

3B．

1 2C．2 2D．22 3x2y24．（2010•福建）若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任

43意一点，则OPFP的最大值为( ) A．2

B．3

C．6

D．8

5．（2013•大纲版）已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|3，则C的方程为( )

x2A．y21

2x2y2B．1

32x2y2C．1

43x2y2D．1

546．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过点F2的直线与椭圆C交于

A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为( )

x2y2x2y2C．D．1 1

4354x2y27．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，A是C的

ab左顶点，点P在过A且斜率为的离心率为( ) A．

2 3x2A．y21

2x2y2B．1

323的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C6B．

1 21C．

3D．

1 4第1页（共16页）

8．（2017•全国）椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，点P在C上，F2P2，F1F2P则C的长轴长为( ) A．2

B．23 C．23

D．223 2，3x2y29．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C:1长轴的两个端点，若C上存在点M满

3m足AMB120，则m的取值范围是( ) A．(0，1][9，) C．(0，1][4，)

B．(0，3][9，) D．(0，3][4，)

x2y210．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C:221(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以

ab线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为( ) A．6 3B．3 3C．2 31D．

311．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1A．

31，则该椭圆的离心率为( ) 4B．

1 2C．

2 3D．

3 4x2y212．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C:221(ab0)的左焦点，A，

abB分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交

于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1A．

3B．

1 2C．

2 3D．

3 4二．填空题（共7小题）

x2y213．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆且圆心在x轴的正半轴上．则1的三个顶点．

164该圆标准方程为 ．

y214．（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直

b2线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为 ．

x2y2115．（2011•江西）若椭圆221的焦点在x轴上，过点(1,)做圆x2y21的切线，切

ab2点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．

第2页（共16页）

x2y216．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C:1的两个焦点，M为C上一点且在第一

3620象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．

x2y217．（2019•浙江）已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线

95段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．

x2y218．（2019•上海）在椭圆若有F1PF2P1，1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，

42则F1P与F2Q的夹角范围为 ．

x219．（2018•浙江）已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足AP2PB，则

4当m 时，点B横坐标的绝对值最大． 三．解答题（共6小题）

x2y220．（2016•北京）已知椭圆C:221过点A(2,0)，B(0,1)两点．

ab（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

x2y221．（2019•天津）设椭圆221(ab0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已

ab知3|OA|2|OB|(O为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F且斜率为

3的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直4线l相切，圆心C在直线x4上，且OC//AP．求椭圆的方程．

x2y222．（2019•天津）设椭圆221(ab0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短

ab轴长为4，离心率为5． 5（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在，且OPMN，求直线PB的斜率． y轴的负半轴上．若|ON||OF|(O为原点）

第3页（共16页）

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题36 椭圆（教师版）

一．选择题（共12小题）

x2y211．（2019•北京）已知椭圆221(ab0)的离心率为，则( )

ab2A．a22b2 【答案】B

B．3a24b2

C．a2b

D．3a4b

c21a2b21c1【解析】由题意，，得2，则，

a4a24a24a24b2a2，即3a24b2．

x2y2342．（2018•全国）已知椭圆221过点(4,)和(3,)，则椭圆离心率e( )

ab55A．26 5B．6 51C．

5D．

2 5【答案】A

x2y234【解析】椭圆221过点(4,)和(3,)，

ab5591612a25b2则，解得a5，b1，c2a2b224， 9161a225b2c26，ec26 a5x2y23．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C:21的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )

a41A．

3B．

1 2C．2 2D．22 3【答案】C

x2y2【解析】椭圆C:21的一个焦点为(2,0)，

a4c22可得a244，解得a22，c2，e．故选C． a222x2y24．（2010•福建）若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任

43意一点，则OPFP的最大值为( ) A．2 【答案】C

第4页（共16页）

B．3 C．6 D．8

x02y02x022【解析】由题意，F(1,0)，设点P(x0，y0)，则有1，解得y03(1)，

434x02因为FP(x01,y0)，OP(x0,y0)，所以OPFPx0(x01)y0x03，

42此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，

22因为2x02，所以当x02时，OPFP取得最大值236，故选：C．

45．（2013•大纲版）已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|3，则C的方程为( )

x2A．y21

2【答案】C

x2y2B．1

32x2y2C．1

43x2y2D．1

54x2y2【解析】设椭圆的方程为221(ab0)，

ab可得ca2b21，所以a2b21①

AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|3

3()2133可得A(1,)，B(1,)，代入椭圆方程得2221，②

ab222联解①②，可得a24，b23

x2y2椭圆C的方程为1

436．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过点F2的直线与椭圆C交于

A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为( ) x2A．y21

2【答案】B

【解析】|AF2|2|BF2|，|AB|3|BF2|，

又|AB||BF1|，|BF1|3|BF2|，又|BF1||BF2|2a，|BF2|3|AF2|a，|BF1|a，|AF1||AF2|2a，|AF1|a，

2|AF1||AF2|，A在y轴上．在Rt△AF2O中，cosAF2Ox2y2B．1

32x2y2C．1

43x2y2D．1

54a， 21， a第5页（共16页）

a34()2(a)222在△BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1，

a222142a2根据cosAF2OcosBF2F10，可得0，解得a23，a3．

a2ax2y2222bac312．所以椭圆C的方程为：1．

32

x2y27．（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，A是C的

ab左顶点，点P在过A且斜率为的离心率为( ) A．

2 33的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C6B．

1 21C．

3D．

1 4【答案】D

【解析】由题意可知：A(a,0)，F1(c,0)，F2(c,0)， 直线AP的方程为：y代入直线AP:3c3(xa)，由F1F2P120，|PF2||F1F2|2c，则P(2c,3c)， 63c1(2ca)，整理得：a4c，题意的离心率e． 6a4第6页（共16页）

【答案】D

【解析】椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，点P在C上，F2P2，F1F2P长轴长为( ) A．2

B．23 C．23

D．223 2，则C的3【解答】解：椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，则c1， |PF2|2，|PF1|2a|PF2|2a2，

由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2||PF2|cos2， 31即(2a2)244222()，解得a13，a13（舍去），

22a223，故选：D．

x2y29．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆C:1长轴的两个端点，若C上存在点M满

3m足AMB120，则m的取值范围是( ) A．(0，1][9，) C．(0，1][4，) 【答案】A

【解析】假设椭圆的焦点在x轴上，则0m3时，

B．(0，3][9，) D．(0，3][4，)

x2y2设椭圆的方程为：221(ab0)，设A(a,0)，B(a,0)，M(x,y)，y0，

aba2y222则ax2，

b第7页（共16页）

MAB，MBA，AMB，tanyy，tan， xaaxtantan2ay2ay2ab22ab2tantan[()]tan()2222ay1tantanax2y2y(a2b2)cy2y2b2ab2tan2，当y最大时，即yb时，AMB取最大值，

cyM位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足AMB120，

AMB120，AMO60，tanAMO解得：0m1；

3mtan603，

当椭圆的焦点在y轴上时，m3，

当M位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足AMB120，

AMB120，AMO60，tanAMOm的取值范围是(0，1][9，)

m3tan603，解得：m9，

x2y210．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C:221(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以

ab线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为( ) A．6 3B．3 3C．2 31D．

3【答案】A

【解析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，

原点到直线的距离2aba2b2a，化为：a23b2．

第8页（共16页）

cb26椭圆C的离心率e12．

aa311．（2016•新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1A．

31，则该椭圆的离心率为( ) 4B．

1 2C．

2 3D．

3 4【答案】B

x2y2【解析】设椭圆的方程为：221，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，

abxy1则直线方程为：1，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，

cb4bb2a2c21c121，4b(22)，23，可得：，3e． 2cc2cba211c2b21x2y212．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C:221(ab0)的左焦点，A，

abB分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交

于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1A．

3B．

1 2C．

2 3D．

3 4【答案】A

【解析】由题意可设F(c,0)，A(a,0)，B(a,0)，

设直线AE的方程为yk(xa)，令xc，可得M(c，k(ac))，令x0，可得E(0,ka)， 设OE的中点为H，可得H(0,ka)，由B，H，M三点共线，可得kBHkBM， 2kak(ac)ac1c1即为2，化简可得，即为a3c，可得e．

acaac2a3二．填空题（共7小题）

x2y213．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆且圆心在x轴的正半轴上．则1的三个顶点．

164该圆标准方程为 ． 325【答案】(x)2y2

24x2y2【解析】一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．

164可知椭圆的右顶点坐标(4,0)，上下顶点坐标(0,2)，

第9页（共16页）

设圆的圆心(a,0)，则(a0)2(02)24a，解得a圆的半径为：

5， 23， 2325所求圆的方程为：(x)2y2．

24

y214．（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直

b2线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为 ． 【答案】x232y1 2【解析】由题意，F1(c,0)，F2(c,0)，AF2x轴，|AF2|b2，

A点坐标为(c,b2)，

设B(x,y)，|AF1|3|F1B|，AF13F1B， (cc，b2)3(xc，y)， 51B(c，b2)，

331(b2)251， 代入椭圆方程可得(c)2323b1b2c2，b2213，c2，x2y21． 332故答案为：x232y1． 2x2y2115．（2011•江西）若椭圆221的焦点在x轴上，过点(1,)做圆x2y21的切线，切

ab2点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．

第10页（共16页）

x2y2【答案】1

54【解析】设切点坐标为(m,n)则 n12n1即m2n21nm0 m1m2m2n21 1mn10

2即AB的直线方程为2xy20 线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c20；b20

解得c1，b2 所以a25

x2y2故椭圆方程为1

54x2y216．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C:1的两个焦点，M为C上一点且在第一

3620象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】(3,15)

x2y2【解析】设M(m,n)，m，n0，椭圆C:1的a6，b25，c4，

3620c2e，

a3由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1||MF2|， △MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|2c或|MF2|2c， 2即有6m8，即m3，n15；

326m8，即m30，舍去．

3可得M(3,15)． 故答案为：(3,15)．

x2y217．（2019•浙江）已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线

95第11页（共16页）

段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ． 【答案】15 x2y22【解析】椭圆1的a3，b5，c2，e，

953设椭圆的右焦点为F，连接PF，

线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆， 连接AO，可得|PF|2|AO|4，

1523设P的坐标为(m,n)，可得3m4，可得m，n，

232由F(2,0)，可得直线PF的斜率为 15215． 322另解：由|PF|2|AO|4，|PF|642，|FF|2c4， 可得cosPFFsinPFF1416161，

2244115， 164可得直线PF的斜率为故答案为：15．

sinPFF15．

cosPFF

x2y218．（2019•上海）在椭圆若有F1PF2P1，1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，

42则F1P与F2Q的夹角范围为 ．

第12页（共16页）

1【答案】[arccos，]

3【解析】设P(x,y)，则Q点(x,y)，

x2y2椭圆1的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，

42F1PF2P1，

x22y21，

x2y2结合1

42可得：y2[1，2]

故F1P与F2Q的夹角满足：

23y281cos232[1，]

y2y23F1PF2Q(x22y2)28x2F1PF2Qx22y21故[arccos，]

3x219．（2018•浙江）已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足AP2PB，则

4当m 时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由P(0,1)，AP2PB，

可得x12x2，1y12(y21)， 即有x12x2，y12y23， 又x124y124m，

2y12m，① 即为x222x24y24m，②

①②得(y12y2)(y12y2)3m， 可得y12y2m，

第13页（共16页）

解得y13m3m，y2， 243m2)， 22则mx2(3m2m210m9(m5)216即有xm(， )244222即有m5时，x2有最大值4，

即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．

三．解答题（共6小题）

x2y220．（2016•北京）已知椭圆C:221过点A(2,0)，B(0,1)两点．

ab（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

x2y2（1）解：椭圆C:221过点A(2,0)，B(0,1)两点，

aba2，b1，则ca2b2413，

x23椭圆C的方程为； y21，离心率为e24（2）证明：如图， 设P(x0，y0)，则kPA取x0，得yMkPBy0y0，PA所在直线方程为y(x2)， x02x022y0； x02y01y1，PB所在直线方程为y0x1， x0x0x0． 1y0x022y0x0， 1y01y0取y0，得xN|AN|2xN2|BM|1xM1SABNM2y0x2y02． 0x02x021122y0x0x02y02 |AN||BM|221y0x021(x02y02)21(x02y0)24(x02y0)41x024x0y04y024x08y04

2(1y0)(x02)2x0y02x02y02x0y02x02y0第14页（共16页）

14(x0y02x02y0)142．

2x0y02x02y02四边形ABNM的面积为定值2．

x2y221．（2019•天津）设椭圆221(ab0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已

ab知3|OA|2|OB|(O为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F且斜率为

3的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直4线l相切，圆心C在直线x4上，且OC//AP．求椭圆的方程． 解：（Ⅰ）3|OA|2|OB|，即为3a2b， cb231可得e121；

aa42（Ⅱ）b31a，ca， 22即a2c，b3c，

x2y2可得椭圆方程为221，

4c3c3设直线FP的方程为y(xc)，

4代入椭圆方程可得7x26cx13c20， 解得xc或x13c， 7代入直线PF方程可得y可得P(c,3c)， 23c9c或y（舍去），

142圆心C在直线x4上，且OC//AP，可设C(4,t)，

第15页（共16页）

3ct可得2，解得t2，

4c2c即有C(4,2)，可得圆的半径为2， 由直线FP和圆C相切的条件为dr， 可得|34423c|9162，解得c2，

可得a4，b23，

x2y2可得椭圆方程为1．

1612x2y222．（2019•天津）设椭圆221(ab0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短

ab轴长为4，离心率为5． 5（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在，且OPMN，求直线PB的斜率． y轴的负半轴上．若|ON||OF|(O为原点）解：（Ⅰ）由题意可得2b4，即b2，e解得a5，c1，

c5，a2b2c2， a5x2y2可得椭圆方程为1；

54（Ⅱ）B(0,2)，设PB的方程为ykx2， 代入椭圆方程4x25y220， 可得(45k2)x220kx0， 解得x20k或x0，

45k2810k220k即有P(，)，

45k245k2ykx2，令y0，可得M(2，0)， k又N(0,1)，OPMN，

810k212301，解得k可得，

20k25k可得PB的斜率为

230． 5第16页（共16页）