专题01 线性回归方程(原卷版)

例1．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温

y（单位：C)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回

ˆ0.25xˆ，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为( ) 归方程yx（次数/分20 30 40 50 60 钟） y(C) A．33C

25 27.5 B．34C

29 C．35C

32.5 36 D．35.5C

例2．已知下列说法：

ˆ35x，变量x增加一个单位时，yˆ平均增加5个单位； ①对于线性回归方程y②在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，则模型回归效果越好； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ⑤演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”． 其中说法错误的个数为( ) A．1

B．2

C．3

D．4

ˆ12.28，则bˆ的值ˆbx例3．变量x，y之间的一组相关数据如表所示：若x，y之间的线性回归方程为y为( )

x 4 8.2 5 7.8 6 6.6 7 5.4 C．0.96

D．0.98

y A．0.92 B．0.94

例4．我国5G技术研发试验在20162018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段实施．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如表所示： 月份 月份编号x 销量y/部 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 1 50

2 96 3 a 1

4 185 5 227 ˆ45x5，则下列说法正确的是( ) 若y与x线性相关，且求得线性回归方程为yA．a142

B．y与x正相关

C．y与x的相关系数为负数

D．12月份该手机商城的5G手机销量约为365部 例5．已知x与y之间的一组数据：

x 0 m 1 3 2 5.5 3 7 y ˆ2.3x0.85，则m的值为 ． 已求得关于y与x的线性回归方程y例6．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示： 价格x 销售量y 8.5 12 9 n m 11 7 11.5 5 6 ˆ3.2x40，且mn20，则其已知销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y中的m ． 例7．已知一组数据点：

x x1 x2   x8 y y1 y2 y8 8ˆ2x4，若数据x1，x2，，x8的平均数为1，则yi ． 用最小二乘法得到其线性回归方程为yi1例8．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(xi，yi)(i1，2，，20)，其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得xi80，yi4000，(xix)80，(yiy)28000，

2i120202020i1i1i1(xi120ix)(yiy)7000．

（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y关于x的线性回归方程；

（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：

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使用年限 台数 款式 甲款 乙款 1年 2年 3年 4年 5年 5 15 20 20 15 10 10 5 50 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？

参考公式：相关系数r(xi1nix)(yiy)n(xi1n．

ix)(yiy)2i1ˆaˆbxˆ的斜率和截距的最对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i1，2，，n)，其回归直线yˆ小二乘估计分别为：b(xx)(yii1nii1niy)2ˆ． ˆybx，a(xx)例9．近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国20152019年高铁运营里程的数据如表所示．

年份 年份代码x 高铁运营里程2015 1 1.9 2016 2 2.2 2017 3 2.5 2018 4 2.9 2019 5 3.5 y（万千米） （Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，若用2016~2019年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率．

ˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bˆˆaˆbx附：线性回归方程yxyii1nninxynx2ˆ． ˆybx，axi12i例10．某地区2013年至2019年居民纯收入y（单位：千元）的部分数据如表所示：

年份 年份代号t 2013 1 2014 2 2015 3 2016 4 2017 5 2018 6 2019 7

3

人均纯收入3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 y 2018和2019年的居民纯收入y（单位：千元）数据采用随机抽样的方式获得，用样本的均值来代替当年的居民人均纯收入，其数据如下：

2018年抽取的居民纯收入（单位：千元）数据：5.2 4.8 6.5 5.6 6.0 7.1 6.1 7.3 5.9 7.5 2019年抽取的居民纯收入（单位：千元）数据：6.2 7.8 6.6 5.8 7.1 6.8 7.2 7.9 5.9 7.7 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）当地为了提高居民收入水平，现从2018和2019年居民纯收入（单位：千元）高于7.0千元的样本中随机选择3人进行座谈，了解其工作行业及主要收入来源．设X为选出的3人中2018年纯收入高于7.0千元的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

ˆ附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b(ti1nint)2(yiy)iˆ． ˆybt，a(ti1t)2例11．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：

①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2020年12月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告．统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）:

月份 月份编号t 竞拍人数y（万人） （1）由收集数据的散点图发现1可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请ˆaˆbtˆ，并预测2020年12月份参与竞拍的人数． 用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y2020.07 1 0.5 2020.08 2 0.6 2020.09 3 1 2020.10 4 1.4 2020.11 5 1.7 （2）某市场调研机构对200位拟参加2020年12月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表： 报价区间（万[1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6) [6，7]

4

元） 频数 20 60 60 30 20 10 （ⅰ）求这200为竞拍人员报价X的平均数值x和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；

（ⅱ）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(,2)，且与2可分别由（ⅰ）中所求的样本平均数x及s2估值．若2020年12月份实际发放车牌数量是3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．

ˆaˆˆbxˆ，其中b参考公式及数据：①回归方程yxyinixyxi1i1nˆ； ˆybx，a2inx2②t55,tiyi18.8,1.71.3；

2ii1i155③若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.94，P(3Z3)0.9974．

n1n2④方差S(xix)(xix)2Pi．

ni1i12例12．某医疗专家组为了研究新冠肺炎病毒在特定环境下一周内随时间变化的繁殖情况，得到如下的实验数据： 天数t（天) 繁殖个数1 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 4 7 6 y（千个） （1）由如表数据可知，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与实验数据的误差不超过0.5，则该实验数据是“理想数据”，现从实验数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望．

ˆaˆˆbtˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b参考公式：回归方程y(ti1nit)(yiy)i(ti1nˆ．ˆybt，a

t)2例13．在线教育的发展，有利于弥补乡村教育短板，为我国各地区教育均衡发展提供了条件.2019年《工作报告》明确提出发展“互联网教育”促进优质资源共享．下面是20152019年我国在线教育网络使用率的统计表：

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年份t 使用率y(%) 2015 16 2016 18.8 2017 20.1 2018 24.3 2019 27.2 其散点图如图：

设日期代码xt2017．

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；

（Ⅱ）根据线性回归方程，预测2025年我国在线教育网络使用率约达到多少？

ˆaˆˆbxˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式：附：回归直线yb(xi1nnix)(yiy)ixyii1nninxynx2ˆ．ˆxbx， a(xi1x)2xi12i例14．学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量y（袋)，得到如下统计表：

就餐人数x（百人） 原材料y（袋) 第一天 13 32 第二天 9 23 第三天 8 18 第四天 10 24 第五天 12 28 ˆaˆbxˆ； （1）根据所给的5组数据，求出y关于x的线性回归方程yy400y20,0y36(xN)（2）已知购买食材的费用C（元)与数量y（袋)的关系为C，投入使用的每

380y,y36(yN)袋食材相应的销售单价为700元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有1500人到食堂餐厅就餐．根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L销售收入原材料费用）

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ˆ参考公式：b(xi1nnix)(yiy)ixyii1nninxynx25ˆ． ˆybx，a(xi15i1x)252ixi12i参考数据：xiyi1343，x558，yi23237．

i1i1

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