一、仔细选一选（本题有10 个小题，每小题3 分，共30 分） 1．已知二次根式A．
B．
C．
，则a的取值范围是（
D．
）
）
2．下列图形是中心对称图形的个数有（
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
3．为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ A．平均数 B．中位数 C．众数D．方差
）
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
5．用下列哪种方法解方程3x2=16x最合适（ ）
A．开平方法B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
6．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（
）
A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变7．已知（﹣3，y1），（﹣15，
y2），在反比例函数y=﹣A．y1＞y2＞y3
上，则y1，y2，y3的大小关系为（
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
）
B．y1＞y3＞y2
8．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45°
）
9．直线
与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180°得到△AO′B′，
C．（
，2） D．（
，﹣2）
则点B′的坐标为（ ） A．（4，2） B．（4，﹣2）
10．如图，以▱ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL．如果▱ABCD 的面积为8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
二、认真填一填（本题有6小题，每小题4 分，共24分） 11．在
、、、 、 中，是最简二次根式的是 ．
；边数为 ．
．
12．已知多边形的内角和等于外角和的三倍，则内角和为 13．已知
=0是关于x的一元二次方程，则k为 14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，E，F分别是AB，AD 的中点，连接EO 并延长交CD于G点，连接FO并延长交CB于H点，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形，则蝶形的周长为 ．
15．如图，将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到 △A′B′C′，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 AA′为 ．
16．如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为 ．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．要求写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．计算： （1）
（3）
．
18．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）求证：△ADF≌△CBE；求证：四边形DFBE是平行四边形．
19．如图，将表面积为550cm2的包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为15cm，请求出 包装盒底面的长与宽．
20．某初中要调查学校学生（总数1000人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得到的数据分别制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2）．
（1）请补全上述统计图（直接填在图中）；试确定这个样本的中位数和众数；
（3）请估计该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数．
21．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决一下问题：
（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．
（3）这些方法都是将解 转化为解 ； （4）尝试解方程：x3+2x2+x=0．
22．在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线ACS行的两个动点，分别从A，C同时出发 相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动． （1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH 为矩形．
（3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何 值时，四边形EGFH 为菱形．
23．如图1，正方形ABCD的边长为4，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立平 面直角坐标系．反比例函数
的图象与CD交于E点，与CB交于F点．
（1）求证：AE=AF；
若△AEF 的面积为6，求反比例函数的解析式；
（3）在的条件下，将△AEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图2，设它与正方形 ABCD的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜4）．
八年级下学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．已知二次根式，则a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的性质得出a的取值范围． 【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2a﹣1≥0，
解得：a≥，
则a的取值范围是：a≥． 故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
2．下列图形是中心对称图形的个数有（
）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【考点】中心对称图形．
【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析．
【解答】解：第一、四个图形是中心对称图形，第二、三个图形不是中心对称图形，故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重 合．
3．为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数D．方差 【考点】统计量的选择．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为方差．故选：D． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【考点】矩形的性质；菱形的性质． 【专题】推理填空题．
【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
【解答】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误； B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B 选项错误； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确； D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D 选项错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．
5．用下列哪种方法解方程3x2=16x最合适（ ）
A．开平方法B．配方法 C．因式分解法 D．公式法 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可． 【解答】解：方程3x2=16x最合适因式分解法． 故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
6．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（
）
A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变 【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】探究型．
【分析】根据三角形ABC 的面积是点C 的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数y=（x＞0） 的图象上，可以解答本题．
【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y= （x
＞0）的图象上运动，且AC=BC，设点C的坐标为（x，），
∴（k为常数）．
即△ABC的面积不变．故选A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积 联系在一起．
7．已知（﹣3，y1），（﹣15，y2），在反比例函数y=﹣
上，则y1，y2，y3的大小关系为（
）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣
中k=﹣a2＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵（﹣3，y1），（﹣15，y2），在反比例函数y=﹣
上，
∴（﹣3，y1），（﹣15，y2）在第二象限，点在第四象限， ∴y3＜y2＜y1．故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45° 【考点】反证法．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于或等于45°，即每一个内角都大于45°． 故选：D．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180°得到△AO′B′， 则点 B′的坐标为（ ） A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（，2） D．（，﹣2） 【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征求出A点和B点坐标，则可得到OA=2，OB=2， 再根据旋转的性质得到AO′=AO=2，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根据第二象限点的坐标特征写出点B′的坐标． 【解答】解：当y=0时，﹣当x=0 时，
x+2=0，解得x=2
，则A，所以OA=2
，
=2，则B（0，2），所以OB=2，
因为△AOB 绕着 A 点旋转180°得到△AO′B′，
所以AO′=AO=2，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，所以点B′的坐标为（4，﹣2）． 故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
10．如图，以▱ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL．如果▱ABCD 的面积为8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质． 【分析】过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，求出∠EAM=∠BAD， 根据锐角三角形函数定义求出EM=DN，求出△AEF和△ABD面积相等，同理求出理S△BHG=S△ABC，
S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，代入S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK得出S=2S平行四边形ABCD，代入求出即可．
【解答】解：过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD， ∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，
∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°， ∴∠EAF+∠BAD=360°﹣90°﹣90°=180°， ∵∠EAF+∠EAM=180°， ∴∠EAM=∠DAN，
∴sin∠EAM=∵AE=AD， ∴EM=DN，
，sin∠DAN=
，
∵S△AEF=AF×EM，S△ADB=AB×DN， ∴S△AEF=S△ABD，
同理S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，
∴阴影部分的面积S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=2S平行四边形ABCD=2×8=16．故选C
【点评】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点的应用，关键是根据S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，进行计算解答即可．
二、认真填一填（本题有6小题，每小题4 分，共24分） 11．在
、
、
、
、
中，是最简二次根式的是
．
【考点】最简二次根式．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分析得出答案． 【解答】解：在 式．故答案为：
、．
、
、
、
中，只有
是最简二次根
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
12．已知多边形的内角和等于外角和的三倍，则内角和为1080° 【考点】多边形内角与外角．
；边数为 8 ．
【分析】首先设边数为n，由题意得等量关系：内角和=360°×3，根据等量关系列出方程，可解出n 的值，然后再利用内角和公式计算内角和． 【解答】解：设边数为n，由题意得： 180（n﹣2）=360×3，
解得：n=8， 内角和为：180°×（8﹣2）=1080°，故答案为：1080°；8． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3） 且n 为整数），多边形的外角和等于360 度．
13．已知
=0 是关于x 的一元二次方程，则k 为﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【解答】解：由 =0是关于x的一元二次方程，得
k2﹣2=2，且1﹣k≥0， 解得k=﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，E，F分别是AB，AD 的中点，连接EO 并延长交CD于G点，连接FO并延长交CB于H点，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形，则蝶形的周长为 16 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】利用菱形的性质结合三角形中位线的性质得出GE=BC，HF=AB，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6， ∴BO=DO=3，CO=AO=4，BD⊥AC， ∴BC=CD=AD=AB=5，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF=BD=3，
∵E是AB 的中点，O是AC的中点， ∴EO∥BC， ∴GO∥BC，
则EG=BC=5，
同理可得：HF=5，HG=3， 故蝶形的周长为：5+5+3+3=16．故答案为：16．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得出EG=BC=5是解题关 键．
15．如图，将边长为6 的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到 △A′B′C′，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 AA′为12﹣6．
【考点】菱形的性质；正方形的性质；平移的性质．
【分析】利用菱形的性质结合正方形的性质得出A′D=DF，AA′=A′E，进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：如图所示：∵四边形 A′ECF是菱形， ∴A′E=EC=FC=A′F，
∵边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC 剪开，再把△ABC沿着AD方向平移， ∴∠A=∠ACD=45°，
∴AD=DC，则A′D=DF，AA′=A′E，
∴设A′E=x，则A′D=DF=6﹣x，A′F=x， 故在Rt△A′DF中，x2=（6﹣x）2+（6﹣x）2，
解得：x1=12﹣6 ，x2=12+6＞6（不合题意舍去），故AA′为：12﹣6 ． 故答案为：12﹣6 ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出A′D=DF，AA′=A′E 是解题关键．
16．如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为4和2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为 +
．
【考点】正方形的性质；轴对称图形．
【分析】连接AC；由正方形的性质和已知条件得出EF= ，GH=2，∠EAF=∠GCH=90°，由轴对称图形的性质得出AE=AF，CG=CH，得出AM=EF=
，CN=GH=1，求出AC的长，得出正方
形ABCD的面积，由大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得出图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图所示：连接AC；
∵正方形ABCD内两个相邻正方形的面积分别为4和2，
∴EF=
，GH=2，∠EAF=∠GCH=90°，
根据题意得：AE=AF，CG=CH，
∴AM= EF=
∴AC=
，CN= GH=1， +2+1=
+3，
+3）2=
+；
，
+
∴正方形ABCD的面积=AC2=（∴图中阴影部分的面积=
故答案为：+
+ ﹣4﹣2=+
．
【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线求出对角线AC是解决问题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．要求写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．计算： （1）
（3）
．
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】（1）分母有理化即可；根据二次根式的性质化简即可； （3）先提（+），然后合并后利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式=原式=×2
=3
；
；
（3）原式=（ + ）（3﹣2﹣2+） =（ +）（ ﹣ ） =（ ）2﹣（ ）2 =3﹣2 =1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）求证：△ADF≌△CBE；求证：四边形DFBE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出内错角相等∠DAF=∠BCE，证出 ∠AFD=∠CEB=90°，由 AAS 证明△ADF≌△CBE 即可；由（1）得：△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得出DF=BE，再由BE∥DF，即可得出四边形DFBE是平行四边形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAF=∠BCE， ∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AFD=∠CEB=90°，
在△ADF 和△CBE中，
，
∴：△ADF≌△CBE（AAS）；解：如图所示：由（1）得：△ADF≌△CBE， ∴DF=BE， ∵BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．如图，将表面积为550cm2的包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为15cm，请求出 包装盒底面的长与宽．
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】设包装盒底面的长为xcm，则包装盒底面的宽为积，利用表面积为550cm2列出方程解答即可．
【解答】解：设包装盒底面的长为xcm，则包装盒底面的宽为
=15﹣x（cm），由题意得=15﹣x（cm），求得包装盒的表面
2×[（15﹣x）×15+15x+（15﹣x）×x=550 整理得：x2﹣15x+50=0，解得：x1=10，x2=5
则10﹣x=5或10．
答：包装盒底面的长为10cm，则包装盒底面的宽5cm．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是熟记长方体的表面积公式．
20．某初中要调查学校学生（总数1000人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得到的数据分别制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2）．
（1）请补全上述统计图（直接填在图中）；试确定这个样本的中位数和众数；
（3）请估计该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．
【分析】（1）根据阅读5小时以上频数为6，所占百分比为12%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到阅读3小时以上频数，进而补全频数分布直方图，分别求得阅读0小时和4小 时的人数所占百分比，补全扇形图；
利用各组频数和总数之间的关系确定中位数和众数；
（3）用1000乘以每周课外阅读时间不小于4小时的学生所占百分比即可． 【解答】解：（1）总人数：6÷12%=50（人），
阅读3小时以上人数：50﹣4﹣6﹣8﹣14﹣6=12（人）， 阅读3小时以上人数的百分比为12÷50=24%， 阅读0小时以上人数的百分比为4÷50=8%． 图如下：
中位数是3小时，众数是4 小时； （3）1000× =1000×40% =400（人）
答：该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数为400人．
【点评】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
21．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决一下问题：
（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．
（3）这些方法都是将解一元二次方程 转化为解 一元一次方程 ； （4）尝试解方程：x3+2x2+x=0．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）由a=1，b=﹣2，c=﹣8，可得△=b2﹣4ac=36＞0，即可判定此方程的根的情况； ①直接利用配方法解一元二次方程；②利用十字相等法解一元二次方程； （3）利用消元法，将解一元二次方程转化为解一元一次方程； （4）利用因式分解法求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣8，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣8）=36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根；
①配方法：∵x2﹣2x﹣8=0， ∴x2﹣2x=8，
∴x2﹣2x+1=8+1， ∴（x﹣1）2=9，
∴x﹣1=±3，解得：x1=4，x2=﹣2；
②因式分解法：∵x2﹣2x﹣8=0， ∴（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2；
（3）答案为：一元二次方程；一元一次方程；
（4）∵x3+2x2+x=0， ∴x（x2+2x+1）=0， ∴x（x+1）2=0，
∴x=0，x+1=0，解得：x1=0，x2=x3=﹣1． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．
22．在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F是对角线ACS行的两个动点，分别从A，C同时出发 相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动． （1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH 为矩形．
（3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何 值时，四边形EGFH 为菱形．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；
先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH 是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5﹣2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5﹣2 （5﹣t）=4，解方程即可；
（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证 出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方 程求出BG，得出AB+BG=
，即可得出t的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°， ∴AC==5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC中点， ∴AG=BG，CH=DH， ∴AG=CH， ∵AE=CF， ∴AF=CE，
在△AFG 和△CEH中，
，
∴△AFG≌△CEH（SAS）， ∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH， ∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH=BC=4，当EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4，解得：t=0.5； ②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4，解得：t=4.5；
综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形． （3）解：连接AG、CH，如图所示： ∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF， ∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH是菱形， ∴AG=CG，
设AG=CG=x，则BG=4﹣x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，即32+（4﹣x）2=x2，
解得：x=
， =，
，
∴BG=4﹣
∴AB+BG=3+=
即t 为
s时，四边形EGFH 为菱形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明四边形是菱形，运用勾股定理得出方程才能得出结果．
23．如图1，正方形ABCD的边长为4，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立平 面直角坐标系．反比例函数
的图象与CD交于E点，与CB交于F点．
（1）求证：AE=AF；
若△AEF 的面积为6，求反比例函数的解析式；
（3）在的条件下，将△AEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图2，设它与正方形 ABCD的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜4）． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出DE=BF，故可得出结论；
设DE=BF=a，则CE=4﹣a，CF=4﹣a，再由S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△ECF即可得出 a的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（3）根据中EF两点的坐标用t表示出AB，BG，CE=CK的长，再由S=S 正方形ABCD﹣S△梯形AA′ED ﹣S△ABG﹣S△ECK即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点E、F均在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴AD•DE=AB•BF． ∵AD=AB， ∴DE=BF．
在△ADE 与△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF， ∴AE=AF；
解：设DE=BF=a，则CE=4﹣a，CF=4﹣a， ∵△AEF 的面积为6，
∴S△AEF=S 正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△ECF =4×4﹣×4a﹣×4a﹣（4﹣a）（4﹣a） =16﹣4a﹣（4﹣a）（4﹣a） =6，
解得a=2， ∴EF=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=；
（3）解：∵由知E，F（4，2），
∴AB=4﹣t，BG=AB=2﹣t，CE=CK=2﹣t， ∴S=S 正方形 ABCD﹣S△梯形AA′ED﹣S△ABG﹣S△ECK
=4×4﹣××4﹣（4﹣t）•﹣ =16﹣4﹣4t﹣t2﹣4+2t﹣2﹣t2+2t =﹣t2+6．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质及梯形的面积公式等知识，在解答此题时要注意整体思想的运用。
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