2015年高考全国新课标1卷理科数学试卷(1)

全国统一考试全国课标1 理科数学

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1． 设复数z满足(A) 1 (B)

(7)设D为ABC所在平面内一点，BC3CD,则

1414ABAC (B) AD ABAC 33334141(C) ADABAC (D) ADABAC 3333(A)AD(8)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

1zi，则|z| 1z2 (C) 3 (D)2

(2)sin20cos10cos160sin10 （A）1133 （B） （C） (D)

22221313,k),kZ（B）(2k,2k),kZ 444413（C）(k,k),kZ 4413（D）(2k,2k),kZ 44（9）执行右面的程序框图，如果输入的t0.01 （A）(k(3)设命题p:nN,n22n,则p为

(A) nN,n22n (B) nN,n22n(C) nN,n22n (D) nN,n22n (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为

(A) 0.8 (B) 0.432 (C) 0.36 (D) 0.312

x2y21上的一点，F1,F2是C的两个焦点，(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:若MF1MF20,2则y0的取值范围是 (A )(333322222323,) (B)(,) (C) (,) (D) (,) 33663333(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有

如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出墙角的米约有

(A)14斛 (B) 22斛 (C )36斛 (D) 66斛

则输出的n（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为

（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该

几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

(12)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是 (A)[33332e,1) (B)[2e,4) (C)[2e,34) (D)[32e,1) 第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a____________

(14)一个圆经过椭圆

x2y21641的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________

x10（15）若x,y满足约束条件xy0，则y的最大值为___________

xy40x（16）在平面四边形ABCD中，ABC75,BC2,则AB的取值范围是___________ 三.解答题：

（17）（本小题满分12分）

S2n为数列{an}的前n项和，已知an0,an2an4Sn3

（I）求数列{a1n}的通项公式（II）设bna，求数列{bn}的前n项和.

nan1

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC (I)证明：平面AEC平面AFC

(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。 (19) （本小题满分12分）

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,……8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值

（I）根据散点图判断，yabx 与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx，根据（II）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(1,1)，(2,2)，„，(n,n)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

ˆ(i)(i)(2 ˆ i)(20) （本小题满分12分） 2在直角坐标系xOy中，曲线C:yx4与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点. （I）当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（II）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由。 (21) （本小题满分12分）

已知函数f(x)x2ax14,g(x)lnx

（I）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；

（II）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)min{f(x),g(x)}(x0)，讨论h(x)零点的个数。

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E。 （I）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （II）若OA3CE，求ACB的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线C1:x2，圆C2:(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I）求C1,C2的极坐标方程； （II）若直线C3的极坐标方程为4(R)，设C2与C3的交点为M,N，求C2MN的面积。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0 （I）当a1时，求不等式f(x)1的解集；

（II）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。