概率课外练习题4

一、 填空题

1. 已知随机变量X~N(2,4)，Y~N(1,3)，X与Y相互独立，则3X−2Y服从的分布为 ；

2. 设随机变量X～B(n,p)，且E(X)=0.5， D(X)=0.45，则n=　　　　　，p=　　　　　； 3. 设X~N(10,0.6)，Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则E(XY)=　　　　　，D(3X−Y)=　　　；4. 已知E(X)=−1，D(X)=3，则E(3X2−1)= ；

5. 已知随机变量X~b(10,0.2)，Y~π(1)，则E(X+Y)= ； 6. 若X~π(2)，则D(2X+2)= ；

7.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则E(X)= ；

D(X)= ；

8．已知D(X)=9，D(X)=25，D(X+Y)=30，则Cov(X,Y)= ，ρXY= ； 9.设随机变量X与Y的方差分别为D(X)=25，D(Y)=16，相关系数ρXY=0.4，则

D(X+Y)= ；

10．若随机变量X与Y相互独立，则相关系数ρXY= .

二、 判断题

1. 设X为随机变量，C为常数，则D(X+C)=D(X)+C； 2. 设X为随机变量，C为常数，则E(X+C)=E(X)+C； 3. 若随机变量X,Y相互独立，则X,Y一定不相关；

4. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则X+Y服从正态分布； 5. 若X与Y相互独立，则cov(X，Y)=0；

6. 已知随机变量X~U(0,1)，Y=X2，则随机变量X与Y不相关； 7. 已知随机变量X~U(−1,1)，Y=X2，则随机变量X与Y不相关.

三、 计算题

1. 某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射

到 用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律、数学期望和方差.

2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独

立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布律、数学期望和方差.

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⎧8

1−, x≥2,

3. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎪，求X的期望与方差. ⎨x3

⎪⎩0, x<2.⎧2x

, 04. 设随机变量X的概率密度为f(x)=⎪≤≤，求（1）P0Xπ⎨⎨⎬；

2⎭⎩⎪⎩0, 其它

(2) 数学期望E(X).

， 5. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为（见右表）（1）常数α,λ；（2）E(X). 已知E(Y)=1，试求：

X 0 1 Y 0 0.1 0.2 1 0.2 2 0.1 α λ ⎧ax2+bx+c, 0，已知E(X)=0.5，D(X)=0.15 ，求6. 设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨

其它0, ⎩

系数a、b、c.

⎧

（X，Y)的概率密度函数为f(x,y)=⎨7. 设二维随机变量

8xy, 0，试求：

0, 其他⎩

（2）方差D(X)，D(Y). （1）数学期望E(X)，E(Y)；

8．按节气出售的某种节令商品，每售出1kg可获利10元，过了节气可将剩余的这种商品全部

kg）服从(20,40)处理，每处理1kg净亏损2元.设某商店在节令内这种商品的销售量X（单位：

内的均匀分布.为使商店获得利润Y的数学期望最大，问该商店的进货量t应为多少？

四、 证明题

1． 设X为随机变量，c是常数，若c≠E(X),证明: D(X)b−a2

). 2

4． 设连续型随机变量X的数学期望存在，若对常数a，恒有P{X≥a}=1，证明：E(X)≥a.

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