内容解析
《正方形》是八年级下册第十八章最后一节的内容, 主要是进一步认识正方形，掌握正方形的性质和判定方法.《义务教育数学课程标准(2011年版)》对本节要求是：理解正方形的概念，以及它和平行四边形、矩形、菱形之间的联系，探索并证明正方形的性质定理以及它的判定定理，体会平面几何的内在价值.
本节课之前，学生已经掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，对特殊平行四边形的研究具备了一定的方法，在此基础上学习本节课的内容，再一次体验到了数学研究和发现的过程，既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、矩形、菱形进行综合的不可缺少的重要环节.
本节课从学生已有的认知结构出发，通过动手操作采取几种不同的方法构造出正方形，然后引导学生探究正方形的概念，通过观察、分析、讨论、归纳、总结出正方形性质定理，最后以课堂练习加以巩固定理，并通过拔高题对定义、性质理解、巩固加以升华，培养和发展学生的合情推理能力和探究习惯，提高学生的分析归纳总结能力和知识体系整合能力，渗透“转化、类比”等数学思想方法.
知识关联
教学设计
一、学习目标
1、了解正方形的概念，理解、掌握并运用正方形的性质及判定方法. 2、经历实践、观察、归纳、运用等探究活动，进一步认识正方形是完美四边形，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
3、通过对正方形图形完美性的探究，培养品格的完美性，发展合情推理意识，提高学生的分析归纳总结能力和知识体系整合能力.
二、重难点
重点：正方形的概念和性质．
难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系． 三、学习过程 （一）引课
观察：利用课件展示生活中有关正方形的图片，魔方，正方形的桌面、开
关盒、钟表、包装盒等，并提问：同学们，你们发现了什么？
（这些物品的表面都是正方形，利用正方形可以制作许多漂亮的图案.） 学生充分欣赏、观察这组图片，真切地感受现实生活中存在的一种图形--正方形，让学生深刻体会到数学源于生活的真谛，揭示这节课的课题.
这节课我们一起来研究正方形. （二）新知
活动一：（正方形的概念）
1、利用多媒体课件展示一室内装饰图案，里面有平行四边形，菱形，矩形、正方形.提问：前面我们学习了平行四边形、菱形、矩形，那么正方形与平行四
B C
A D
边形、菱形、矩形之间有什么关系？
引导学生发现矩形、菱形的实质是由平行四边形角度、边长的变化得到的.并启发学生考虑，若这两种变化同时发生在平行四边形上，则会得到什么样的图形？让学生们通过手上的学具动手操作演示以上两种变化，从而得出结论.
（1）想一想：矩形、菱形与平行四边形之间的边与角有什么关系？ （学生思考回答后课件展示图形的变化过程，使学生在图形的动画变化过程中了解由边、角的变化可使图形发生变化）
（2）量一量：正方形与菱形、正方形与矩形及平行四边形之间的边、角又有什么关系？
（3）说一说：正方形的概念.
（4）议一议：正方形与平行四边形、菱形、矩形之间有什么关系？ （学生合作交流，讨论探究正方形与平行四边形、菱形、矩形的边、角变化关系，然后课件展示图形的变化过程，使学生在图形的动画变化过程中再一次了
解由边、角的变化可使图形发生变化）
2、请同学们举手发言，归纳总结出正方形定义：一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形是正方形.
由课件演示，再由此定义启发学生们发现正方形的三个必要条件，并且由这三个条件通过重新组合即一组邻边相等与平行四边形组成菱形再加上一个角是直角可得到正方形的另两个定义：一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形.
活动二：（正方形的性质和判定的探究）
1、比一比：看谁填得又快又好：平行四边形、矩形、菱形的性质.
边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性质 对称轴 （教师将事先准备好的表格在上课之前发给学生，让学生填完表格的前三列，教师检查，表扬填得好的同学），你知道正方形的性质吗？（学生讨论完成第四列）提问：你是怎样确定正方形的对称轴的？
2、讲一讲：你是怎样得出正方形的性质的.
全体学生参与到教学中来，回顾了所学知识，同时开启学生联想的大门：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形和矩形，那么它就同时具有平行四边形、菱形和矩形的性质.然后学生类比归纳出正方形的性质，体现了\"把所学知识建构在已学知识的基础上\"的新课程理念，培养学生主动探索的习惯和创新意识.
3、想一想：如何判定正方形？比如：平行四边形有一个角是直角且邻边相等时变成了正方形，矩形的邻边相等时是正方形.你还有哪些方法？你能否利用对角线的变化来判断一个四边形是正方形呢？
（教师在学生分组讨论、质疑后，再借助课件动态展示学生讨论的结果，包括对角线变化判定一个四边形为正方形的方法.）
设计意图：利用边、角、对角线的变化，判断图形之间的变化，培养学生类比归纳的能力，学生在合作探讨中，培养学生的团结协作、共同探索的习惯，同时训练了学生的发现、归纳、总结的能力.
师生共同归纳：
（1）正方形的性质：正方形的四个角都是直角；四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；有4条对称轴.
（2）正方形的判定方法：一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形是正方形；一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；对角线垂直平分且相等的四边形是正方形…….
活动三：（具体应用，形成技能）
例5求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 分析：此题是文字证明题,必须写出已知、求证部分，可以利用三角形全等的方法；还可以利用正方形的两条对角线是它的对称轴证明；画正方形沿对角线剪开证明.
已知：如图，在正方形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O. 求证：△AOB、△BOC、△COD、△DOA是全等的
等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA是等腰直角三角形，并且 △AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA.
由学生们分组相互探讨，共同研究然后由小组派代表阐述证明过程，引导学生用多种方法加以证明，最后教师板书，在板书的过程中，请其他小组的同学提出合理化建议，使此题证明过程条理更加清晰，更加符合逻辑，同时强调证明格式的书写.从而培养他们语言表达能力，让学生的个性得到充分的展示.
（三）练习 ★1. 在正方形ABCD中，
（1）一条对角线把它分成 个全等三角形，这些三角形是 三角形； （2）两条对角线把它分成 个全等的 三角形； （3）一条对角线与正方形的边所成的角等于 度.
★★ 2.如图，正方形ABCD的面积为64，则对角线AC=_________. ★★3.判断：
（1）对角线相等的菱形是正方形 （ ） （2）对角线互相垂直的矩形是正方形 （ ） （3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 （ ） （4）四条边都相等的四边形是正方形 （ ） （5）四个角都相等的四边形是正方形 （ ） （6）四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形（ ）
★★★4. 如图，边长是1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形 AB′C′D′，求图中阴影部分的面积。
BOADC（四）小结 1.知识方面
（1）正方形的性质. （2）正方形的判定方法.
（3）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系.
2.思想方法方面
观察与实验，概括与抽象，类比归纳的数学思想与方法. （五）作业
★1.把一张长方形的纸片如图那样折一下，可以截出正方形纸片，这是为什么呢？如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的正方形木板呢？
★★2.现学校有一正方形的花园，为方便游客观赏，要修两条直的小道通过花园（道路宽度忽略不计），把花园分成面积相等的四个部分，请你设计出尽可能多的修路方案，画出草图（不写画法、证明）
A D
A D
A D
B C
B C
B C
★★3.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分
AEDBFC线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F. 求证：四边形DEBF是正方形.
★★★4．如图①，正方形ABCD中对角线AC，BD相交于O，E为AC上一点，AG丄EB交EB于G，AG交BD于F． （1）证明：0E=0F；
（2）如图②，若E为AC延长线上一点，AG丄EB交EB的延长线于G，AG的延长线与DB的延长线交于F，其他条件不变，则结论“0E=0F”还成立吗？请说明理由．
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