2019年江苏省常州市中考数学一模试卷(包含答案解析)

2019年江苏省常州市中考数学一模试卷

姓名： 得分： 日期：

一、选择题（本大题共 8 小题，共 16 分） 1、(2分) -4的相反数是（ ） A.4

1

B.4

C.−4 1

D.-4

2、(2分) 计算（-2a3）2的结果是（ ） A.2a5

B.4a5

C.-2a6

D.4a6

3、(2分) 如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（ ）

A.①③②

B.②①③

C.③①②

D.①②③

4、(2分) 2018年常州接待游客预计72 200 000人次，将72 200 000用科学记数法表示为（ ） A.72.2×106

B.7.22×107

C.0.722×108

D.7.22×108

5、(2分) 下列说法正确的是（ ） A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件 B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查 C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确 D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S

甲

2=2，S

乙

2=1，说明甲的射击成绩比乙稳定

6、(2分) 已知点（x1，3），（x2，2）是直线y=-2x+1上两点，则下列正确的是（ ） A.x1-x2＞0

B.x1-x2＜0

C.x1=x2

D.x1+x2＞0

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7、(2分) 如图，⊙O与BC相切于点B，弦AB∥OC，若∠C=40°，则∠AOB的度数是（ ）

A.60

B.70°

C.80°

D.90°

8、(2分) 如图，△ABC纸片中，点A1，B1，C1分别是△ABC三边的中点，点A2，B2，C2分别是△A1B1C1三边的中点，点A3，B3，C3分别是△A1B2C2三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖（每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）

A.

二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）

9、(2分) 计算：|-5|-20=______．

10、(2分) 若二次根式√𝑥+2有意义，则x的取值范围为______． 11、(2分) 分解因式：x2-4y2=______． 12、(2分) 已知∠A比它的补角大40°，则∠A度数是______． 13、(2分) 点P（2，4）与点Q（-3，4）之间的距离是______．

14、(2分) 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则-a-b______0（填“＞”，“＜”或“=”）．

15、(2分) 在半径为2cm的⊙O中，用刻度尺（单位：cm）测得弦AB的长如图所示，则劣弧

的长为______cm．

21

B.32

11

C.48

21

D.12

7

6

16、(2分) 如图，已知直线y=x+b与x、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=𝑥（x＞0）交于点C，AB=BC，则点B的坐标是______．

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17、(2分) 已知分式𝑥+𝑦的值为2，且y≠-1，则分式𝑦+1的值为______．

18、(2分) 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为AB、BC的中点，点H是AD边上一点，将△DCF沿DF折叠得△DC′F，将△AEH沿EH折叠后点A的对应点A′刚好落在DC′上，则cos∠DA′H=______．

3𝑥

𝑥+2

三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19、(6分) 计算：（2）-2-√25+4cos60°．

20、(8分) 解方程和不等式组： （1）x2-2x-4=0

2𝑥−5<0

（2）{

−4−𝑥≤3𝑥

21、(8分) 如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE；

1

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（2）若DE⊥AB且DE=AB，连接EC，求∠FEC的度数．

22、(8分) 随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市某旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年“十•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

（1）2018年“十•一”期间，该市此旅游景区共接待游客______万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图；

（3）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2019年“十•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？

23、(8分) 有四张正面分别标有数字-1，2，-3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．

（1）随机抽取一张卡片，求抽到标有负数的卡片的概率；

（2）设平面直角坐标系内点A（x，y），现随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作x，然后不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作y．请求出点A在第二象限的概率．

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24、(8分) 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．

25、(8分) 如图是某户外看台的截面图，长10m的看台AB与水平地面AP的夹角为35°，与

AP平行的平台BC长为1.9m，点F是遮阳棚DE上端E正下方在地面上的一点，测得AF=2m，在挡风墙CD的点D处测得点E的仰角为26°，求遮阳棚DE的长．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90）

26、(9分) 我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．

（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是______命题；（填“真”或“假”） （2）如图2，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．试说明△ADC的面积与△ABC的面积相等；

（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．

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①图中是“对直角四边形”的是______；

②当OP的长是______时，四边形DEPF为对直角四边形．

27、(10分) 如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA=22.5°． （1）若OC=2，则AC的长为______；

（2）试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；

（3）连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC=x，GP=y，请求出x与y之间的等量关系式．（请先补全图形，再解答）．

28、(11分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+m交y轴于点C，与抛物线

333

y=ax2+bx交于点A（4，0）、B（-2，-8）．

（1）直线l的表达式为：______，抛物线的表达式为：______；

（2）若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面积；

（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为

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d1，当|d-d1|=2时，请直接写出点Q的坐标．

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【 第 1 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】

解：-4的相反数是：4． 故选：B．

直接利用相反数的定义分析得出答案．

此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

【 第 2 题 】 【 答 案 】 D 【 解析 】

解：（-2a3）2=（-2）2•（a3）2=4a6． 故选：D．

根据积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案；注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握（am）n=amn（m，n是正整数）与（ab）n=anbn（n是正整数）的应用是解此题的关键．

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【 第 3 题 】 【 答 案 】 A 【 解析 】

解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是一个矩形， 故选：A．

根据简单几何体的三视图，可得答案．

本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．

【 第 4 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】

解：72 200 000用科学记数法表示为：7.22×107， 故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

【 第 5 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】

解：A、打开电视，它正在播天气预报是随机事件，故错误；

B、要考察一个班级中学生的视力情况因调查范围小适合用全面调查，故错误； C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，正确；

D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=1，说明乙的射击成绩比甲稳定，故错误， 故选：C．

利用随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识，属于基础知识，比较简单．

【 第 6 题 】

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【 答 案 】 B 【 解析 】

解：∵点（x1，3），（x2，2）都在直线y=-2x+1上， ∴3=-2x1+1，解得x1=-1；

1

2=-2x2+1，解得，x2=-2，

∴x1＜x2，即x1-x2＜0 故选：B．

根据一次函数图象上点的坐标特征，可以求得x1，x2的值，从而可以比较它们的大小关系． 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

【 第 7 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】

解：∵，⊙O与BC相切于点B， ∴BC⊥OB， ∴∠OBC=90°，

∴∠BOC=90°-∠C=90°-40°=50°， ∵AB∥OC，

∴∠OBA=∠BOC=50°， ∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=50°，

∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=80°； 故选：C．

由切线的性质得出BC⊥OB，求出∠BOC=50°，由平行线的性质得出∠OBA=∠BOC=50°，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=50°，再由三角形内角和定理即可得出结果．

本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．

【 第 8 题 】 【 答 案 】 B 【 解析 】

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解：（4+4×4+4×4×4）÷1 =（++）÷1 =32÷1 =32．

11114

16

32

1

1

11

11

11

2

故飞镖落在阴影部分的概率是32．

11

故选：B．

111112

设△ABC的面积为1，易得到阴影区域的面积为4+4×4+4×4×4，然后根据概率公式计算即可．

本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个

𝑚

区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=𝑛．

【 第 9 题 】 【 答 案 】 4 【 解析 】

解：原式=5-1=4 故答案为：4．

直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

【 第 10 题 】 【 答 案 】 x≥-2 【 解析 】

解：根据题意得，x+2≥0， 解得x≥-2．

故答案为：x≥-2．

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

【 第 11 题 】 【 答 案 】 （x+2y）（x-2y） 【 解析 】

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解：x2-4y2=（x+2y）（x-2y）． 故答案为：（x+2y）（x-2y）．

直接利用平方差公式分解因式得出答案．

此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

【 第 12 题 】 【 答 案 】 110° 【 解析 】

解：设∠A=x°， x=180-x+40， 解得x=110， 故答案为110°

设∠A=x°，根据题意列出方程，解方程求之即可．

本题考查了补角，正确理解补角的定义是解题的关键．

【 第 13 题 】 【 答 案 】 5 【 解析 】

解：∵点P（2，4），点Q（-3，4） ∴PQ∥x轴，

∵x轴上或平行于x轴的直线上两点的距离为 两点横坐标的差的绝对值， ∴PQ=|-3-2|=5， 故答案为5．

根据x轴上或平行于x轴的直线上两点的距离为两点横坐标的差的绝对值解答即可．

本题考查了两点间的距离，理解x轴上或平行于x轴的直线上两点距离为 两点横坐标的差的绝对值是解题的关键．

【 第 14 题 】 【 答 案 】 ＜ 【 解析 】

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解：∵-1＜a＜0，1＜b＜2， ∴-a-b＜0．

故答案为：＜．

首先根据数轴判断出a、b的符号和大小，根据有理数的减法法则来解答即可．

本题考查了实数与数轴，有理数的减法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．

【 第 15 题 】 【 答 案 】 2𝜋 3【 解析 】

解：连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，

∵OA=OB=2cm，AB=2cm， ∴∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴劣弧

的长=

2𝜋

60⋅𝜋×2180

=3π，

2

故答案为：3．

连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，根据已知条件得到△OAB是等边三角形，求得∠AOB=60°，根据弧长公式即可得到结论．

本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．

【 第 16 题 】 【 答 案 】

（0，√3）或（0，-√3）． 【 解析 】

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解：过点C作x轴的垂线，垂足为D．

∵直线y=x+b与x、y轴分别交于A、B两点，

∴点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（-b，0）， ∵点C也在直线y=x+b上，设点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为m+b， ∵AB=BC，BO∥CD，

∴OB是△ADC的中位线， ∴CD=2OB，

∴m+b=2b，b=m，

∴点C的坐标为（b，2b），

6

∵点C在反比例函数y=𝑥（x＞0）上，

∴b•2b=6，解得b=±√3，

∴点B的坐标为（0，√3）或（0，-√3）． 故答案为：（0，√3）或（0，-√3）．

过点C作x轴的垂线，垂足为D．首先利用一次函数图象上点的坐标特征表示出A、B、C三点的坐标，再结合图形得到OB是△ADC的中位线，利用中位线的性质及反比例函数图象上点的特征解决问题．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用AB=BC得到OB是△ADC的中位线是解题的关键．

【 第 17 题 】 【 答 案 】 2 【 解析 】 解：𝑥+𝑦=2， 3x=2x+2y， x=2y，

2𝑦+2

∴原式=𝑦+1=2，

故答案为：2．

根据题意，可得分式方程，用含y的式子表示出x的值，再将其代入代数式计算即可． 本题主要考查分式的值，解决此题的关键是能够根据题意，用含y的式子表示出x．

3𝑥

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【 第 18 题 】 【 答 案 】 2 5【 解析 】

解：如图，延长DC'交AB于K，连接FK，分别过H，E作DK的垂线，垂足分别为M，N，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A=∠∠B=∠C=90°，AB=BC=6， ∵E，F分别为AB，BC的中点，

1

∴AE=BE=BF=FC=2×6=3，

由翻折知，△DCF≌△DC'F，△AEH≌△A'EH，

∴∠FC'D=∠C=90°，∠A=∠HA'E=90°，AE=A'E=3，C'F=CF=BF=3，DC'=DC=6， ∴∠B=∠FC'K=90°， 又∵KF=KF，

∴Rt△FBK≌Rt△FC'K（HL）， ∴KB=KC'， 设KB=KC'=x，

在Rt△ADK中，AD=6，AK=6-x，DK=6+x， ∵DK2=AD2+AK2，

∴（6+x）2=62+（6-x）2，

3

解得，x=2， ∴BK=C'K=2，

3

∴DK=DC'+KC'=6+2=2，EK=BE-BK=2， 在Rt△KNE与Rt△KAD中，

𝐸𝑁𝐴𝐷

sin∠EKN=𝐸𝐾=𝐷𝐾， 即

𝐸𝑁

32

3153

=

6

152

，

6

解得，EN=5，

∵∠DA'H+∠EA'N=90°，∠EA'N+∠NEA'=90°， ∴∠HA'D=∠NEA'，

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在Rt△EA'N中，cos∠A'EN=𝐸𝐴′=3=5， 即cos∠DA'H=5， 故答案为：5．

2

2

𝐸𝑁

652

延长DC'交AB于K，连接FK，分别过H，E作DK的垂线，垂足分别为M，N，利用正方形的性质及轴对称的性质，先证Rt△FBK≌Rt△FC'K，推出BK=C'K，在Rt△ADK中，利用勾股定理求出BK，C'K的长，进一步求出EK的长，在Rt△KEN与Rt△KAD中，利用三角函数求出EN的长，在Rt△EA'N中，求出cos∠A'EN的值，证∠DA'H与∠A'EN相等即可．

本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够作出适当的辅助线，构造和相关角相等的角．

【 第 19 题 】 【 答 案 】 解：原式=4-5+4×2 =1． 【 解析 】

直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

【 第 20 题 】 【 答 案 】

解：（1）x2-2x=4， x2-2x+1=5， （x-1）2=5， x-1=±√5

所以x1=1+√5，x2=1-√5；

2𝑥−5<0①

（2）{，

−4−𝑥≤3𝑥②

5

解①得x＜2， 解②得x≥-1，

5

所以原不等式组的解集为-1≤x＜2． 【 解析 】

（1）利用配方法得到（x-1）2=5，然后利用直接开平方法解方程；

5

（2）分别解两不等式得到x＜2和x≥-1，然后根据大小小大中间找确定原不等式组的解集．

1

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本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．

【 第 21 题 】 【 答 案 】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠ABF，

∵点E是AB的中点， ∴AE=BE，

∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐹

在△ABE和△ACD中，{𝐴𝐸=𝐵𝐸，

∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐹

∴△ADE≌△BFE（ASA）； （2）解：∵△ADE≌△BFE， ∴DE=EF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠CDF=∠BEF ∵DE⊥AB， ∴∠BEF=90°， ∴∠CDF=90°， ∵DE=AB， ∴DE=DC，

∴△DCE是等腰直角三角形， ∴∠DEC=∠DCE=45°， ∴∠FEC=135°． 【 解析 】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠A=∠ABF，由ASA证明△ADE≌△BFE即可； （2）由全等三角形的性质得出DE=EF，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，得出

∠CDF=∠BEF，证出∠CDF=90°，DE=DC，由等腰直角三角形的性质得出∠DEC=∠DCE=45°，即可得出结果．

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

【 第 22 题 】 【 答 案 】

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解：（1）由题意：9÷18%=50（万人），

15

360°×=108°，

50

故答案为50，108．

（2）B组人数：50×24%=12（万人）， 条形图如图所示：

6

（3）80×50=9.6（万人）， 【 解析 】

答：估计有9.6万人会选择去E景点旅游．

（1）根据D组人数以及百分比求出总人数，根据圆心角=360°×百分比计算即可； （2）求出B组人数，画出条形图即可． （3）利用样本估计总体的思想解决问即可．

本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【 第 23 题 】 【 答 案 】

解：（1）随机抽取一张卡片，数字有4种等可能的结果，其中抽到负数的可能有两种，分别是-1或-3，

21

所以抽到标有负数的卡片的概率=4=2； （2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中点A在第二象限的结果数为4，

41

所以点A在第二象限的概率=12=3． 【 解析 】

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（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用第二象限点的坐标特征找出点A在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．

【 第 24 题 】 【 答 案 】

解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元， 2𝑥+𝑦=50𝑥=10{，得{，

𝑦=30𝑥+2𝑦=70

答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60-m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，

则w=（20-10）m+（50-30）（60-m）=-10m+1200， ∵m≥4（60-m）， 解得，m≥48，

∴当m=48时，w取得最大值，最大利润为：-10×48+1200=720元，60-m=12， 答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元． 【 解析 】

（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．

本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

【 第 25 题 】 【 答 案 】

解：分别过点B、D作BH⊥AP，DG⊥EF，垂足分别为点H，G．∴∠BHA=∠DGE=90°，

由题意得：AB=10m，∠A=35°，∠EDG=26°，

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

在Rt△BAH中，AH=AB•cos35°≈10×0.82=8.2（m）， ∴FH=AH-AF=8.2-2=6.2m，

GD=FH+BC=6.2+1.9=8.1（m），

𝐺𝐷

在Rt△EGD中，cos∠EDG=𝐷𝐸， ∴DE=cos26≈0.9=9（m） 答：遮阳棚DE的长约为9米． 【 解析 】

作BH⊥AP，DG⊥EF，根据余弦的定义求出AH，得到DG的长，根据余弦的定义计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

【 第 26 题 】 【 答 案 】

（1）解：结论：真． 理由：如图1-1中，

𝐷𝐺

8.1

∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴BD是⊙O的直径， ∵AC=BD，

∴AC也是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形． 故答案为真．

（2）证明：如图2中，

∵四边形ABCD是对直角四边形，∠DAB＜90°， ∴∠D=∠B=90°，

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

∴AD2+DC2=AC2，AB2+BC2=AC2， ∴AD2+DC2=AB2+BC2， ∵AD+DC=AB+BC

∴（AD+DC）2=（AB+BC）2，

即：AD2+2AD•DC+DC2=AB2+2AB•BC+BC2， ∴2AD•DC=2AB•BC， 11

∴2•AD•DC=2•AB•BC，

即：S△ADC=S△ABC．

（3）①结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”． 理由：如图3中，

∵DE平分∠BDP，DF平分∠ADP，

11

∴∠EDP=2∠BDP，∠FDP=2∠ADP， ∴∠EDF=2（∠BDP+∠ADP）=90°，

1

∵∠C=90°，

∴四边形ECFD是“对直角四边形”． 故答案为四边形ECFD．

②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”． 理由：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8，AC=6， ∴AB=√62+82=10， ∵BD=AD=5，DP∥AC， ∴OB=OC，

1

∴OD=2AC=3，

∵OP=2， ∴DP=5，

∵∠PDF=∠DFA=∠ADF， ∴AD=AF=5，

∴DP=AF，DP∥AF，

∴四边形ADPF是平行四边形， ∴∠A=∠DPF，

∵DP=DB，DE=DE，∠EDB=∠EDP， ∴△EDB≌△EDP（SAS），

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

∴∠DPE=∠B，

∴∠EPF=∠DPE+∠DPF=∠B+∠A=90°， ∵∠EDF=90°，

∴四边形DEPF是“对直角四边形”． 故答案为2． 【 解析 】

（1）是真命题．证明A，B，C，D四点共圆，证明AC是直径即可解决问题． （2）理由勾股定理以及完全平方公式即可证明． （3）①结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”．

②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．想办法证明∠EPF=90°即可．

本题属于四边形综合题，考查了四点共圆，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

【 第 27 题 】 【 答 案 】

解：（1）2√2−2． ∵∠DBA=22.5° ∴∠DOC=45° ∵OC=2 ∴OD=2√2

∴AC=OA-OC=2√2−2

（2）连接AD，DP，OD，过点D作DF⊥OP，垂足为点F． ∵∠DCA=∠DFP=90°，AD=DP，CD=DF ∴Rt△ACD≌Rt△DFP（HL） ∴AC=PF

∵∠A=∠CDB=∠OEB=∠DEF，∠ACD=∠DFE=90°，CD=DF ∴Rt△ACD≌Rt△DEF（HL） ∴AC=EF ∴PE=2AC

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

（3）如图所示，

由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD=√2𝐶𝐷=√2𝑥 ∵∠ADB=90°，点O是AB中点 ∴AB=2OD=2√2𝑥

∵∠A=∠GED，∠GDE=∠ADB，AD=DE ∴△DGE≌△DBA（ASA） ∴GE=AB=2√2x ∵PE=2AC

∴PE=2（√2𝑥−𝑥）

∴GP=GE-PE=2√2𝑥−2(√2𝑥−𝑥) 即：y=2x 【 解析 】

（1）连接OD，由45°角的三角函数关系可解．

（2）由△ACD≌△DFP和△ACD≌△DEF，可证明2AC=PE

（3）由（2）结论，以及△DGE≌△DBA，可通过线段和差计算得出y与x之间的等量关系式． 本题考查了特殊角的三角函数关系，全等的判定与性质，并有效利用了（2）的结论解决（3）问题．

【 第 28 题 】 【 答 案 】

解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y=kx+s得：{故直线的表达式为：y=4x-3， 故：抛物线的表达式为：y=-2x2+2x；

1

3

1

338

3

3

−

0=4𝑘+𝑠

=−2𝑘+𝑠

𝑘=4

，解得：{，

𝑠=−3

同理将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-2，b=2，

（2）将直线l向下平移m个单位，交抛物线于点P，交y轴于点D，

过点P、D分别作直线l的垂线HD、PM于点H、M，过点O作直线PD的垂线交直线l于点F、交直线PD于点E，

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

则PM=HD，2S△APB=S△AOB，则PM=HD=2OF，

3

直线的表达式为：y=4x-3，则tan∠HCD=tan∠OCF， 即：𝑂𝐶=

𝑂𝐹

𝐻𝐷

，解得：OC=2OC=2， 𝐶𝐷

13

∵FC∥ED∴𝐹𝐸=𝐶𝐷=1，

𝑆

3

9

△𝐴𝑃𝐵

𝑂𝐹𝑂𝐶2

1

∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2，即：4x-2=-2x2+2x， 解得：x=2或-2（舍去负值）， 点P（2，-8），

1

9

9

99

S△AOP=2×4×8=4；

9

（3）过点Q分别作直线l和函数对称轴的垂线交于点H、G，过点Q作QR∥y轴交直线l和x轴于点R、S，

1

3

则∠RQH=∠RAS=α，直线AB表达式得k值为4，即tanα=4，则cosα=5， 设点Q（x，-2x2+2x）、则点R（x，4x-3）， d=QRcosα=|-2x2+2x-4x+3|×5…①，

1

3

4

334

d1=|x-2|…②， |d-d1|=2…③，

联立①②③并解得：x=√6或-√6或6或-1或1或4或-4，

53

故点Q的坐标为（√6，2√6-3）或（-√6，-3-2√6）或（6，-6）或（-1，-2）或（1，2）或（-4，-16）或（4，0）．

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2019年江苏省常州市中考数学一模试卷（包含答案解析）

【 解析 】

（1）将点A、B坐标代入一次函数、抛物线表达式即可求解；

339

（2）将直线l沿y轴向下平移2个单位长度得直线y=4x-2，交二次函数在第四象限内的图象于点P，即可求解；

134

（3）确定d=QRcosα=|-2x2+2x-4x+3|×5，d1=|x-2|，利用|d-d1|=2，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），距离要用绝对值计算，避免遗漏．

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