北京市清华大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

数学试题

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项.

1．若集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|ex＞1}，则A∩B＝（ ） A．R

B．（﹣∞，2）

C．（0，2）

D．（2，+∞）

2．已知命题p：∀a∈（0，+∞），a+＞2，则￢p是（ ）

A．∃a∈（0，+∞），a+＞2 B．∃a∉（0，+∞），a+＞2

C．∃a∈（0，+∞），a+≤2 D．∃a∉（0，+∞），a+≤2

3．已知a＝ln3，b＝log0.32，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b

B．a＜b＜c

C．b＜c＜a

D．c＜a＜b

4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间A．y＝2|sinx|

﹣

上为减函数的是（ ）

D．y＝|cosx|

B．y＝cosx C．y＝sin2x

﹣

5．已知f1（x）是函数f（x）＝10x的反函数，则f1（1）的值为（ ） A．0

B．1

C．10

D．100

，﹣

6．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点（

），则cos（π+α）＝（ ）

A．﹣ B． C． D．

7．已知α，β∈R，则“α＝β+kπ，k∈Z”是“sin2α＝sin2β”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知指数函数f（x）＝ax，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大

为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则a的值是（ ） A．

B．

C．

D．

9．已知函数f（x）＝的值分别为（ ）

（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ

A．

B．

C．

D．

10．已知函数f（x）＝1﹣2x，g（x）＝x2﹣4x+3，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是（ ） A．C．[1，3]

B．D．（1，3）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知

，则tan2x的值为 ．

12．已知x∈[﹣3，﹣1]，则函数为 ． 13．已知函数f（x）＝

点，则实数m的取值范围是 ．

的最大值为 ，最小值

，且函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个不同的零

14．已知max{x1，x2，…，xn}表示x1，x2，…，xn这n个数中最大的数．能够说明“对任意a，b，c，d∈R，都有max{a，b}+max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题的一组整数a，b，c，d的值依次可以为 ．

15．已知函数

①函数f（x）是周期函数；

，给出下列四个命题：

②函数f（x）的图象关于点（π，0）成中心对称； ③函数f（x）的图象关于直线x＝﹣2π成轴对称； ④函数f（x）在区间（π，

）上单调递增．

其中，所有正确命题的序号是 ．

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）求下列关于x的不等式的解集： （1）

；

（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．

17．（14分）已知集合A＝{x|2x＞4}，B＝{x||x﹣a|＜2}，其中a＞0且a≠1． （1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；

（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围．

18．（14分）已知函数f（x）＝

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间在区间[

19．（14分）已知函数f（x）＝2x2+ax+a﹣1．

，

x．

]上的最大值和最小值．

（1）若f（x）的图象恒在直线y＝﹣1上方，求实数a的取值范围；

（2）若不等式f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

20．（14分）已知0＜α＜，﹣＜β＜0，，

．

（1）求

（2）求sinβ的值； （3）求α﹣β的值．

的值；

21．（15分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意x1∈D都存在x2∈D满足值数”．

（1）判断函数f（x）＝2x是否为“自均值函数”，并说明理由； （2）若函数范围；

（3）若函数h（x）＝tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，求实数t的值．

，x∈[0，1]为“自均值函数”，求ω的取值

，则称函数f（x）为“自均值函数”，其中a称为f（x）的“自均

【参】

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项. 1．C

【解析】集合A＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，B＝{x|ex＞1}＝{x|x＞0}， 则A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：C． 2．C

【解析】命题为全称命题，则命题的否定为∃a∈（0，+∞），a+3．C

【解析】a＝ln3＞1，b＝log0.32＜0，c＝0.30.2∈（0，1）， 则a＞c＞b故选：C． 4．A

【解析】满足π为最小正周期，且在区间

上为减函数：

≤2，故选：C．

对于A：y＝2|sinx|的图象是把y＝2sinx的图象x轴下方翻折得到的，周期为π，在区间

上为减函数，∴A对；

对于B：y＝cosx的周期为2π，∴B不对； 对于C：y＝sin2x的周期为π，在（∴C不对．

对于D：y＝|cosx|的图象是把y＝cosx的图象x轴下方翻折得到的，周期为π，在区间

上为增函数，∴D对；故选：A．

5．A

【解析】∵原函数和反函数的定义域和值域是互换的， ∴令10x＝1，求得x＝0，∴f1（1）＝0． 故选：A．

﹣

，）上为减函数，（，π）上为增函数，

6．A

【解析】∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点（

，

﹣7．A

），∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故选：A．

【解析】①当α＝β+kπ，k∈Z时，则2α＝2β+2kπ，k∈Z， ∴sin2α＝sin(2β+2kπ)＝sin2β,∴充分性成立，

②当sin2α＝sin2β时，则2α＝2β+2kπ,k∈Z或2α+2β＝π+2kπ,k∈Z， ∴α＝β+kπ或α+β＝8．D

【解析】将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，

则g（x）＝3ax，再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3ax2＝

﹣

+kπ,k∈Z，∴必要性不成立，故选：A．

•ax，

所得图象恰好与函数f（x）的图象重合，则＝1，即a2＝3，a＝，故选：D．

9．B

【解析】由图象可知f（x）的周期为T＝

＝π，∴

＝π，解得ω＝2．

由图象可知f（）＝1，即＝1，

∴+φ＝+kπ，k∈Z．∴φ＝﹣+kπ，

又10．B

，∴φ＝﹣．故选：B．

【解析】由题意可得f（a）＝1﹣2a＜1，f（a）＝g（b），

故 g（b）＝b2﹣4b+3＜1，即 （b﹣2）2＜2．解得 2﹣故选：B．

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11．

＜b＜2+，

【解析】∵，∴tan2x＝＝，故答案为：．

12．﹣2 ﹣3

是由对勾函数

向上平移2个单位得到，

【解析】观察函数

由对勾函数性质可知y1在（﹣∞，﹣2）递增，（﹣2，0）递减， ∵x∈[﹣3，﹣1]，故函数在x＝﹣2取最大值﹣2， 当x＝﹣3时，y＝

，当x＝﹣1时，y＝﹣3，

所以最大值为﹣2，最小是为﹣3． 13．（1，2]

【解析】g（x）＝f（x）﹣m恰有两个不同的零点，等价于f（x）＝m有两个不同的根，也即函数y＝m与函数f（x）的图象有两个不同的交点， 当x＞0时，y＝lnx，此时函数为单调增函数，且y∈R， 当x≤0时，y＝ex+1，函数为单调增函数，且y∈（1，2]， 所以当m∈（1，2]时，满足题意， 故答案为：（1，2]．

14．2，1，﹣1，﹣2（答案不唯一） 【解析】不妨假设a＞b＞c＞d，

则由定义可知max{a，b}＝a，max{c，d}＝c，max{a，b，c，d}＝a， 则原命题等价于a+c≥a，

则当c＜0时上式不成立，故满足条件的只需要排序后第三个数小于0即可， 例如：2，1，﹣1，﹣2，

故答案为：2，1，﹣1，﹣2（答案不唯一）．

15．①②③ 【解析】函数

，

对于①，函数f（x+4π）＝cos（x+4π）cos（）＝cosxcos＝f（x），

故函数的最小正周期为4π，故函数为周期函数，故①正确； 对于②，由于函数f（x+π）＝cosx•sin

，f（π﹣x）＝﹣cosx•sin

，

故f（π+x）＝﹣f（π﹣x），故函数f（x）的图象关于点（π，0）成中心对称，故②正确； 对于③，由于f（﹣2π+x）＝﹣cosx•cos

；f（﹣2π+x）＝﹣cosx•cos

；

故f（﹣2π+x）＝f（﹣2π+x），故函数f（x）的图象关于x＝﹣2π对称，故③正确； 对于④，由于

＝﹣，

当时，，则，

当时，f′（x）＞0，

当时，f′（x）＜0，

故函数f（x）在区间（π，故答案为：①②③．

）上不单调，故④错误；

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．解：（1）

，∴

≥0，

∴，∴x＞7或x≤2，

∴不等式的解集（﹣∞，2]∪（7，+∞）． （2）①当a＝0时，则﹣2＝0不成立，x∈∅， ②当a≠0，即a2＞0时， 令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，则x＝

或x＝﹣

，

若a＞0时，＞﹣，∴x＞或x＜﹣，

若a＜0时，＜﹣，∴x＜或x＞﹣，

综上，当a＝0时，不等式的解集为∅， 若a＞0时，不等式的解集为{x|x＞

或x＜﹣

}，

若a＜0时，不等式的解集为{x|x＞﹣或x＜}．

17．解：A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣a|＜2}＝{x|a﹣2＜x＜a+2}， （1）当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}， 所以A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}； （2）当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}， 因为C⊆B，所以

因为a＞1，此时1＜a≤2，

当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B， 综上，a的取值范围为{a|1＜a≤2}． 18．解：（1）f（x）＝

x

，解得﹣1≤a≤2，

＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，

∴函数f（x）的最小正周期为＝π，

令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

（2）∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，

则sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]，

∴函数f（x）的最大值为，最小值为﹣．

19．解：（1）因函数f（x）＝2x2+ax+a﹣1的图象恒在直线y＝﹣1上方， 即∀x∈R，2x2+ax+a﹣1＞﹣1⇔2x2+ax+a＞0， 于是得Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8， 所以实数a的取值范围是（0，8）． （2）依题意，

，

令令函数

，

，

，

而1＜t1＜t2，即，

则有g（t1）﹣g（t2）＜0，即g（t1）＜g（t2）， 于是得g（t）在t∈（1，+∞）上单调递增， 因此，∀t＞1，g（t）＞g（1）＝﹣1，即

，

从而有，则a≥1，所以实数a的取值范围是[1，+∞）．

20．解：（1）∵0＜α＜，∴＜α+＜．

∵，∴sin（+α）＝，

∵﹣＜β＜0，∴＜﹣＜．

∵，sin（﹣）＝．

∴cos（α+）＝cos[（+α）−（−）]

＝cos（+α）cos（−）+sin（+α）sin（−）＝．

（2），∴cos+sin＝，

∴cos+sin＝，两边平方得1+2cos•sin＝，

∴sinβ＝﹣．

（3）cosα＝cos[（+α）﹣]＝cos（+α）cos+sin（+α）sin

＝×+×＝，

∴sinα＝＝，

∵sinβ＝﹣，∴cosβ＝，

∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×﹣×＝，

∵0＜α﹣β＜π，∴α﹣β＝．

21．解：（1）假定函数f（x）＝2x是“自均值函数”，显然f（x）＝2x定义域为R，

则存在a∈R，对于∀x1∈R，存在x2∈R，有依题意，函数f（x2）＝

＝a，即＝2a﹣x1，

在R上的值域应包含函数y＝2a﹣x1在R上的值域，

而当x2∈R时，f（x2）值域是（0，+∞），

当x1∈R时，y＝2a﹣x1的值域是R，显然（0，+∞）不包含R， 所以函数f（x）＝2x不是“自均值函数”；

（2）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，1]，存在x2∈[0，1]， 有

＝a，即sin（ωx2+

）＝2a﹣x1，

当x1∈[0，1]时，y＝2a﹣x1的值域是[2a﹣1，2a]， 因此g（x2）＝sin（ωx2+

）在x2∈[0，1]的值域包含[2a﹣1，2a]，

当x2∈[0，1]时，而ω＞0，则≤ωx2+≤ω+，

若ω+≤，则g（x2）min＝，g（x2）≤1，

此时g（x2）值域的区间长度不超过，而区间[2a﹣1，2a]长度为1，不符合题意，

于是得ω+＞，g（x2）max＝1，要使g（x2）＝sin（ωx2+）在x2∈[0，1]的值域包

含[2a﹣1，2a]， 则g（x2）＝sin（ωx2+

）在x2∈[0，1]的最小值小于等于0，

又ωx2+∈[，]时，g（x2）递减，且g（π）＝0，

从而有ω+≥π，解得，

此时，取a＝，y＝2a﹣x1的值域是[0，1]包含于g（x2）在x2∈[0，1]的值域，

所以ω的取值范围是[，+∞）；

（3）依题意，存在a∈R，对于∀x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，有即tx22+2x2+3＝2a﹣x1，

当x1∈[0，2]时，y＝2a﹣x1的值域是[2a﹣2，2a]，

＝a，

因此h（x2）＝tx22+2x2+3在x1∈[0，2]的值域包含[2a﹣2，2a]，并且有唯一的a值， 当t≥0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是[3，4t+7]， 由[2a﹣2，2a]⊆[3，4t+7]得

，

解得≤a≤2t+，此时a的值不唯一，不符合要求，

当t＜0时，函数h（x2）＝tx22+2x2+3的对称轴为x2＝﹣，

当﹣≥2，即﹣t＜0时，h（x2）在[0，2]单调递增，h（x2）在x2∈[0，2]的值域是

[3，4t+7]，

由[2a﹣2，2a]⊆[3，4t+7]得

，解得

≤a≤2t+

，

要a的值唯一，当且仅当＝2t+，

即t＝﹣，a＝，则t＝﹣，

当0＜﹣＜2，即t＜﹣时，

h（x2）max＝h（﹣）＝3﹣，h（x2）min＝min{h（0），h（2）}，

又因为h（0）＝3，h（2）＝4t+7， 由[2a﹣2，2a]⊆[3，3﹣

]且﹣1≤t＜﹣

，

得：≤a≤﹣，此时a的值不唯一，不符合要求，

由[2a﹣2，2a]⊆[4t+7，3﹣]且t＜﹣1，

得：2t+≤a，此时a的值不唯一，不符合要求，

综上得：t＝﹣，

所以函数h（x）＝tx2+2x+3，x∈[0，2]有且仅有1个“自均值数”，实数t的值是﹣．