第20卷第1期
河南教育学院学报〈自然科学版）
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(！。\" 10. 3969/1 ^11/1007 ― 0834^ 2011.01.005
射影几何的应用分析
孙珍
〈安康学院数学系，陕西安康725000〉
摘要：阐述射影几何学有关定理和结论，探讨了射影几何中仿射变换、交比、调和分割在解决平面几何问题中的应用，以及利
用透视对应完成几何作图的应用.
关键词：射影几何；仿射变换；交比；调和分割；透视对应 中图分类号：0185.1
文献标识码^
文章编号：1007 -0834(2011)01 -0012 -02
0引言
射影几何所处理的是构成几何图形的最根本的定性方面和描述方面的性质，而且不用线段与角的度量.在经典几何中， 射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把一些几何联系起来.欧式几何是射影几何的子几何. 1相关定义与定理…
定义1经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.
定义2 —线束中4直线被任一直线（不通过线束中心或顶点）所截4点的交比，称为4直线的交比，记为\"\"^) ~ 80/(^0 ~蜀. 定义3若两个一维基本图形4和8的参数之间，有一个行列式不为0的双一次关系，则称此两图形形成射影对应，记为 4八8，
定义4
点列和线束成射影对应，而对应线通过对应点的，这种特殊的射影对应称为透视对应，记为（^,^,^：,…；)^\",6，
若\"\"，(：！)） - 1，称（：，/)两点调和分割线段/15.
定义5
两个一维基本图形形成射影对应的充分必要条件为对应元素的交比相等. 透视
定理1
仿射保留同素性和结合性.
定理2
4直线(！,6,0 = 0 + ^,5,^ = 0 + ^,6的交比为\"\"^)：入〃入？ 2 射影几定理3
何在解决平面几何问题中的应用 ~
2.1 仿射变换在解决平面几何问题中的应用
由仿射不变性和仿射不变量，以及仿射变换保留同素性、结合性等性质，从一些图形之间的仿射变换关系入手，巧妙利用从特殊到一般的数学思想解决有关问题，使平面几何中的一些问题化难为易，化繁为简.
例1 如图1 ，从椭圆五外一点？做切线？4 、？8,4 、5表示切点，0 是&的中心，射线0？交8于点^证明面积5撒：5歸，；：5灣.
分析椭圆可以看做圆的仿射变换得到的仿射像.
7
7 7
证
明
椭圆0，尸'1
作仿射变换『：圆0， 户5，(：'~^匚对于圆0'来说5^。^ ^，.；。？,：、；由于在仿射变换下，任
意两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量, ^以8*0。 ~ 5^08 ， 8戍0？ ^ 8？08 ~ 2.2 线束的交比在解决直线共点问题中的应用
在射影几何学中，交比是射影不变量，是两个一维基本图形形成射影对应的判定法则之一，它在整个射影几何中处于十分重要的地位，能给我们解题提供帮助〜.
图1仿射变换的应用
^1)1)1103(1011 0『3)11116 11~8118【0『11181|011
收稿日期：2010-10-28
例2 证明4直线2^—7 + 1 ^0，3^7-2^0，7^ ―\" 0，5；^-1 ：
：0共点.
基金项目：安康学院重点扶持学科\"基础数学\"02X20107〉；安康学院重点项目〈2008人0^029〉作者简介：孙珍0977—），女，山东齐河人，安康学院数学系教师.
第1期
孙珍：射影几何的应用分析
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证明以2x1 + 1 ^0'和3^+7-2 因：0为基线表示7 ^ 0,5:^-1 4 十为
73：-\" 0
7
一：^^\"，入，^ + ；
与7 + 1〉十入\"，
2卜0重合，所以 -
71。 入,-
0 1+
因为5
义
-1 二0与^卞
入,
入
0十入2(3^ \"-2〉 二0重合，所以；^
人所求交比是卄由于交比存在，所以4直线共点.
1 ― 2入，
\\7 2~
-3
入
2
-1
十入
2
― ―
2.3 调和分割在解决角平分线（以及线段中点）问题中的应用
有关角平分线的问题，是中学几何常见的问题4、三角形中一个角的内角和外角平分线，将对边分成两线段的比值都和邻边成比例，与射影几何中的调和分割密切联系.^
例3 巳知：如图2所示，三角形43(7中，40垂直80于点0 ，8为八0边上一动点，连接3五交40于点0 ，连接00交48 于点「求证：乙『00 ^乙[：00： 证明延长05交84于点？，05交于点(？.由8(4(^50 ^ (^^^ ： (/^，^；/))和/((/^，(：/)) ： (^,^) ^ (^, (：。）得
(〜，。(；）^ (^？，〜）.
由交比的性质（^？，^) \"/(/^，。(：），所以（/^，(：。） ：1或-1，1舍去.所以（尸！？，^^) ^ -1，即点0和点0调和分割线段/^，由角平分线的性质，所以：^丄觸. 2.4 透视对应在几何作图中的应用
两个点列和同一个线束成透视对应，这两个点列就成透视对应.这个透视对应是一个特殊的射影对应，满足交比不变.
例4 巳知直线上3点/！力,，求作第4点，使/^ ~ 80 ^^0 ~ 8^ 解过^点任作一直线，在其上任取一点^，并在其上作出一点^，使有向1
：
1-以5表示44与^/？,的交点，过5作夂^的平行线交
线段之比&4一 。^ 2 45于所求点！).
证明设直线44上的无穷远点为& ，于是（/！^,，^) & (夂，^ ，(：， ，0。 从而，（/^，(：/)) ： (/！, ，^ ，(：， ，/^ 〉 、？'，'?、 ^/！^,^,^ ，即
2 -
3小结
图2调和分割的应用
18. 2 ^]) 1)1103(1011 0！' 1131*111011比^1^00
能用射影几何解决的平面几何问题很多，例如射影坐标系的建立，在处理一些复杂射影命题时不需要太多技巧，给思考问题带来方便；德萨格定理以及完全四点形等有关知识对于解决共线共点问题提供有效途径，这里不再一一列举.可以看出， 该方法的解题思路较为开阔和灵活.
参考文献
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^1131^818 011 ^^110^11011 0【？ 1*036011^6 (^。！！^!^
3簡211611
^ 1)6^7-11716^ 0^ ^0,1^1710,1105 ^八\"卜,0^6^11^ ^ ^71^(171^ 725000 ？ 0^1111(1 ^
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