2012-2016年考研数学三真题及解析(整理版)

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）

（A）xo(x2)o(x3)；（B）o(x)o(x2)o(x3)；（C）o(x2)o(x2)o(x2)；（D）

o(x)o(x2)o(x2)

【答案】D

【解析】o(x)o(x2)o(x)，故D错误。

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（）

x(x1)ln|x|（A）0；（B）1；（C）2；（D）3 【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又

xx1exlnx1xlnxlimf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnx(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1limf(x)limlimlim x1x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnx2(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim x1x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)故f(x)的可去间断点有2个。

（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记Ik22(yx)dxdyDkk1,2,3,4，则（）

（A）I10；（B）I20；（C）I30；（D）I40 【答案】B

【解析】令xrcos,yrsin，则有

Ik(yx)dxdyrdrDk011(rsinrcos)d(cossin)

3故当k2时，2,，此时有I220.故正确答案选B。 3（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（） （A）若anan1,则(1)n1n1an收敛；

（B）若(1)n1n1an收敛，则anan1

（C）若an1n收敛，则存在常数P1,使limnan存在

nP（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

nPan1n收敛

【答案】D

1Pimnan存在，【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p收敛，且l则annnn1n11与p同敛散，故an收敛. n1nn1（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有

ACB1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义

可知正确选项为（B）。

1a1200



（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000



（A）a0,b2；（B）a0,b为任意常数；（C）a2,b0；（D）a2,b为任意常数

【答案】(B)

1a11a1【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与

1a11a12001a10b0aba相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。 0001a11又EAaa1a[(b)(2)2a2]，从而a0,b为任意常数。

1ba1（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（）

（A）P（B）P（C）P（D）P1P2P3；2P1P3；3P1P2；1P3P2 【答案】（A）

22【解析】由X1N0,1,X2N0,2,X3N5,3知，

p1P2X12PX12221，

p2P2X22PX22211，故p1p2.

2由根据X3N5,3及概率密度的对称性知，p1p2p3，故选（A）

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( ) （A）

1111；（B）；（C）；（D） 12862【答案】（C）

【解析】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，又根据题意X,Y独立，故

PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1选（C）.

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yx2x在点(0,1)处有公共的切线，则limnfn1，6nn2________。

【答案】2

【解析】yx2x在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，

2)f(1)n2nn2limnf()limf'(1)(2)2 n2n2nn2n2z（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则(1,2)________。

xf(1【答案】22ln2

【解析】原式为exln(zy)xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)xzx]y,令x1,y2 zy得z0,zx2(1ln2) （11）求

1lnxdx________。 2(1x)【答案】ln2 【解析】

lnx1lnx1lnxxdxlnxd()+dx+ln (1x)21x1xx(1x)1x1x1lnxxlnxxlnxdxlim+ln+lnln2 x(1x)21x1x1x1xx11y0通解为y________。 4（12）微分方程yy【答案】e1x2C1xC2

21x11【解析】特征方程为0,(二重根)，所以通解为ye2C1xC2

42（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1 【解析】

ATA* 由aijAij0可知，Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j2aaij02ijj1i133

2从而有AATA*A,故A=-1.

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)=________。 【答案】2e2

【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知

EXe2Xxe2x1e2x221dx2xe1x2242dx2e2.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小 所以limnn1cosxcos2xcos3x1

x0axn又因为：

1cosxcos2xcos3x1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)即

lim1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim

x0x0axnaxn1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim()x0axnaxnaxn 121122222xo(x)(2x)o(x)(3x)o(x)222lim()x0axnaxnaxn所以n2且

1491a7 2a2a2a（16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，

13y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。

【解析】由题意可得：

35Vx(x)dxa3

05a132Vy2a067xxdxa3

7135673a310a3a77 因为：Vy10Vx所以75（17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】

2222xdxdyxdxdyxdxdy DD1D22xdxdy。 Dxdxxdyxdxxdy

032323x628x416 3Q，（P1000（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

Q26000 【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q1000边际利润l'40Q 500（II）当P50时，边际利润为20，

经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

xQ40 1000（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()1. a3， 2【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)xf(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，

故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分） 设A1 a1a01,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有

101b矩阵C。

【解析】

由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设Cx1x3x2则由ACCAB可得线性方程组： ，x4x2ax30axxax1124（1） xxx1134x2ax3b01a1100110010000a01a1a00010111a10a1101a00b01a01101a01a0b1a0a110111101a01a001a00b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有

01a0010111a10a1110001011100000，故有

01a0b00000x1k1k21x2k1x,其中k1、k2任意. 3k1x4k2从而有Ck1k21k1k

1k2（21）（本题满分11分） 设

二

次

型

fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x32b1x1b2x2b3x23，

记

a1ab12,a3b2。

b3（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y2y212。 【答案】(1)

f(2a22)x22222221b11(2a2b2)x2(2a3b3)x3(4a1a22b1b2)x1x2(4a

1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b3)x2x32a21b212a1a2b1b22a1a3b1b3a21a21a2a1a3b1b1b2则f的矩阵为2a1a2b1b22a2b2222aa23b2b3a22a2a3b222a1a2b1b22a1a3b1b32a2a3b2b32a23b23a1a3a2a3a23b1b3b2b32TT（2）令A=2TT,则A2TT2,A2TT，则

1,2均为A的特征值，又由于r(A)r(2TT)r(T)r(T)2，故0为A

的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y221y2 （22）（本题满分11分）

设X,Y3x2,0x1,是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx0,其他.，在给定b1b3bb23b23Xx0x1的条件下，Y的条件概率密度fYX（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度fYy.

3y2,0yx,yxx3

0,其他.【答案】（1）fx,yfYX9y2,0x1,0yx, yxfxXx0,其他.（2）fYy9y2lny,0y1, fx,ydx0,其他.（23）（本题满分11分）

23ex,x0,设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，

0,其它.X1,X2，XN为来自总体X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)EXxf(x)dx0x2exdxexd()，令EXX，故30xx矩估计量为X.

n(2)L()i1n2x3eif(xi;)i1xi02nn1xi03exii1xi其他0xi0其他

当xi0时，

lnL()2nln3lnxii1i1nn1 xidlnL()2nn10， 令

di1xi2n2n得n，所以得极大似然估计量=n.

11i1xii1xi2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设limana,且a0,则当n充分大时有（）

aa11（A）an；（B）an；（C）ana；（D）ana

nn22（2）下列曲线有渐近线的是（）

（A）yxsinx；（B）yx2sinx；（C）yxsin112；（D）yxsin xx（3）设P(x)abxcx2dx3，当x0时，若P(x)tanx是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是

（A）a0；（B）b1；（C）c0；（D）d

1

6

（4）设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在区间[0,1]上（） （A）当f'(x)0时，f(x)g(x)；（B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f'(x)0时，f(x)g(x)；（D）当f'(x)0时，f(x)g(x)

0ab（5）行列式

0a00b

0cd0c00d2222222222（A）(adbc)；（B）(adbc)；（C）adbc；（D）bcad

（6）设a1,a2,a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的

（A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件； （C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（） （A）0.1；（B）0.2；（C）0.3；（D）0.4 （8）设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,)的简单随机样本，则统计量2X1X2服从的2X3分布为

（A）F（1,1）；（B）F（2,1）；（C）t(1）；（D）t(2)

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

（9）设某商品的需求函数为Q402P（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线xy10与直线yx0及y=2围成的有界区域，则D的面积为______。 (11)设

a0xe2xdx11，则a_____. 4122ex (12)二次积分dy(ey)dx________.

0yx22（13）设二次型f(x1,x2,x3)x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围

是_________

（14）设总体X2x的概率密度为f(x;)320x2其它2，其中是未知参数,

X1,X2,...,Xn,为来自总体X的简单样本，若cxi1ni是的无偏估计，则c = _________

2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限limxx121tte1tdt

1x2ln(1)x（16）（本题满分10分）

22xsin(xy)22dxdy. 设平面区域D{(x,y)|1xy4,x0,y0}，计算xyD（17）（本题满分10分）

2z2zx2x设函数f(u)具有2阶连续导数，zf(ecosy)满足224(zecosy)e，若

xyxf(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式。

（18）（本题满分10分） 求幂级数

(n1)(n3)xn0n的收敛域及和函数。

（19）（本题满分10分）

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明： （I）0（II）

xabg(t)dtxa,x[a,b];

aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx. a1234（20）（本题满分11分）设A0111，E为3阶单位矩阵。

1203①求方程组Ax0的一个基础解系；②求满足ABE的所有矩阵B

11（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵1（22）（本题满分11分）

110110与

1100102相似。

0n设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=从均匀分布U(0,i)(i1,2) （1）求Y的分布函数FY(y) （2）求EY

（23）（本题满分11分）

1，在给定Xi的条件下，随机变量Y服2设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X0}Y的相关系数XY12,P{X1},且X与331 2（1） 求（X，Y）的概率分布

（2）求P{X+Y1}

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）A；（2）C；（3）D；（4）C；（5）B；（6）A；（7）（B）；（8）（C）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

31dRln2a404p；（9）（10）；（11）

22dp2（13）[-2,2]；（14）

5n

1；（12）(e1)

2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. （15）【答案】

xlimx1[t(e1)t]dt1x2ln(1)x21xlim(e1)tdttdt111xx2xxxlimx2(e1)xx

1eu1ueu112令u,则limx(e1)xlimlim2xu0u0xu2u2（16）【答案】

20d1212cossincos2ddsind0cossin1cossin212cos1cos2ddcos2d(cos10cossin0cossin1cos3132d(21)2d0cossin204121cosd)

（17）【答案】

Ef(excosy)excosy x2Ef(excosy)e2xcos2yf(excosy)excosy2xEf(excosy)ex(siny)y2Ef(excosy)e2xsin2yf(excosy)ex(cosy)2y

2E2Ex2xx2xf(ecosy)e(4Eecosy)ex2y2f(excosy)4f(excosy)excosy令ex

cosyu，则f(u)4f(u)u，

2u2u故

f(u)C1eC2eu,(C1,C2为任意常数) 4e2ue2uu 由f(0)0,f(0)0,得f(u)16164

（18）【答案】 由lim(n2)(n4)1，得R1

n(n1)(n3)当x1时，

(n1)(n3)发散，当x1时，(1)(n1)(n3)发散，

nn0n0故收敛域为(1,1)。

x0时，

(n1)(n3)xn0n((n3)(n1)xdx)((n3)xnn00n0xn11)((n3)xn2)xn01x1n31x33x2x23xn2(((n3)xdx))((x))(())()s(x)230xn0xn0x1x(1x)(1x)x0时，s(x)3，故和函数s(x)（19）【答案】

证明：1）因为0g(x)1，所以有定积分比较定理可知，

3x，x(1,1)

(1x)3xxxa0dtg(t)dt1dt，即

aa0g(t)dtxa。

ax2）令

F(x)f(t)g(t)dtaxxxag(t)dtaf(t)dt

xF(a)0F(x)f(x)g(x)f[aag(t)dt]g(x)g(x){f(x)f[aag(t)dt]}由1）可知

xxag(t)dtxa，所以ag(t)dtx。

ax由f(x)是单调递增，可知f(x)f[aag(t)dt]0

由因为0g(x)1，所以F(x)0，F(x)单调递增，所以F(b)F(a)0，得证。

xk12k26k312k12k32k1T123k,k,kR （20）【答案】①1,2,3,1②B3k113k243k31123kkk123（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

0,y0,3y,0y1,4（22）【答案】（1）FYy

111y,1y2,221,y2.（2）

3 41 （23）【答案】（1）

Y X 0 0 1 2 91 94 91 95 9（2）

2015年考研数学三真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设xn是数列，则下列命题中不正确的是（） （A）若limxna，则limx2nlimx2n1a

nnn（B）若limx2nlimx2n1a，则limxna

nnn（C）若limxna，则limx3nlimx3n1a

nnn (D) 若limx3nlimx3n1a，则limxna

nnn【详解】选择（D）

2．设函数f(x)在(,)上连续，其二阶导数f(x)的图形如右图所示，则曲线yf(x)在(,)的拐点个数为

（A）0 （B）1（C）2 （D）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）

22223．设D(x,y)|xy2x,xy2y，函数f(x,y)在D上连续，则

f(x,y)dxdy

D（A）

40dd12cos0f(rcos,rsin)rdrd242sin0f(rcos,rsin)rdr

（B）

402sin0f(rcos,rsin)rdr2d42cos0f(rcos,rsin)rdr

（C）2dx0x11x2f(x,y)dy（D）2dx012xx2xf(x,y)dy

【详解】应该选（B）

4．下列级数发散的是（）

(1)n111nn!（A）n（B）（D）n ln(1)（C）nlnnnn1n13n1nn2【详解】应该选（C）

1111５．设矩阵A12a,bd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷14a2d2多解的充分必要条件是

（A）a,d；（B）a,d；（C）a,d；（D）a,d 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：

111B(A,b)12a14a2

111111111d01a1d101a1d1222d03a1d100(a1)(a2)(d1)(d2)方程组无穷解的充分必要条件是r(A)r(A,b)3，也就是

(a1)a(2同时成立，当然应该选（D）． )0d,(1d)2()2226．设二次型f(x在正交变换下的标准形为，其中xPy,x,x)2yyy123123Pe1,e2,e3，若Qe1,e3,e2，则f(x1,x2,x3)在xQy下的标准形为

222222222222（A）2y1；（B）2y1；（C）2y1；（D）2y1 y2y3y2y3y2y3y2y3【详解】

100100100Qe1,e3,e2e1,e2,e3001P001，QT001PT

0100100102T

fxTAxyTPAPyyT1y1所以

10010010021002QTAQ001PTAP0010011001101001001010101

故选择（A）．

7．若A,B为任意两个随机事件，则（）

（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B)

（C）P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)（D）P(AB)

22P(A)P(B)故选择（C）．

2【详解】．P(A)P(AB),P(B)P(AB),所以P(AB)8．设总体X~B(m.),X1,X2,,Xn为来自总休的简单随机样本，X为样本均值，则

nEXiXi12 （A）(m1)n(1)（B）m(n1)(1) （C）(m1)(n1)(1)（D）mn(1)

【详解】X~B(m.),所以E(X)m,D(X)m(1)．

1n2设SXXn1i1i2，则S2一定是总体方差的无偏估计，所以E(S2)m(1)，

n从而EXiXi12(n1)D(X)m(n1)(1) 故应该选择（B）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） 9．limln(cosx) 2x0xln(cosx)tanx1lim．

x0x0x22x2【详解】lim10．设函数f(x)连续，(x)【详解】(x)所以(1)x20x2xf(t)dt，若(1)1,(1)5，则f(1)． f(t)dt，(x)x20x20xf(t)dtx100f(t)dt2x2f(x2)

10f(t)dt,(1)f(t)dt2f(1)5f(1)2

x2y3z11．若函数zz(x,y)由方程exyz1确定，则dz|(0,0)．

x2y3z【详解】当x0,y0时，，z0设F(x,y,z)exyz1，则

Fxex2y3zyz,Fy2ex2y3zxz,Fz3ex2y3zxy,

在点(0,0,0)处，

Fy12Fz1z2x,，所以dz|(0,0)dxdy

33xFz3yFz312．设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处y(x)取极值3，则

y(x)．

【详解】yy2y0的通解为yC1e2xC2ex，由条件x0处y(x)取极值3可知

C1C23C11,C22,y(x)e2x2ex 2C1C2013．设三阶矩阵A的特征值为2,2,1，BAAE，其中E为三阶单位矩阵，则行列式B．

【详解】矩阵B的三个特征值分别为3,7,1，所以B21.

14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则PXYY0． 【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立． 则X1~N(0,1)．

211111PXYY0PY(X1)0PY0,X10PY0,X1022222

三、解答题

15．（本题满分10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx在x0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值．

【详解】当x0时，把函数f(x)xaln(1x)bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得

3x2x31f(x)xa(xo(x3))bx(xx3o(x3))236 aa(1a)x(b)x2()x3o(x3)231a0a由于当x0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有b0，

2ak3解得，a1,b11,k. 23216．（本题满分10分） 计算二重积分

x(xy)dxdy，其中D(x,y)|xDy22,yx2

【详解】由对称性可知

xydxdy0，

DDD22x(xy)dxdyxdxdyxydxdyxdxdy DD2dx012x2x2xdy2x2(2x2x2)dx2021012(x0122xdxx4dx)22

11 242(4sintcostdt)2(sin2tdt)055222sin2udu05454017．（本题满分10分）

为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求随意性(0)．

（1）证明定价模型为pMC； 11（2）若该商品的成本函数为C(Q)1600Q，需求函数Q40p，试由（1）中的定价模型确定此的价格．

【详解】（１）总收益为RPQ．

2dRERdPRdR1dQPdQQP11 收益对价格的弹性为：EPRPdPQdPQdPdRERE(PQ)dQ1dP1PQ1, 收益对需求的弹性为：REQEQPdQQ又

ERQdRQdR11, EQRdQPQdQ而边际成本为：

1dRMC. P1MC，所以P1dQ1PP (1)Q40P（２）MC2Q,由(11)P2(40P)，得P30.

18．（本题满分10分）

设函数yf(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点

(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)2，求

f(x)的表达式．

【详解】yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0) 令y0，得xx0f(x0)

f(x0)曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积为

Sf(x0)1f(x0)(x0(x0)4 2f(x0)整理，得y12111y，解方程，得Cx，由于f(0)2，得C 82y8所求曲线方程为y8. 4x19．（本题满分10分）

（1）设函数u(x),v(x)都可导，利用导数定义证明(u(x)v(x))u(x)v(x)u(x)v(x)； （2）设函数u1(x),u2(x),,un(x)都可导，f(x)u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式．

【详解】（1）证明：设yu(x)v(x)

yu(xx)v(xx)u(x)v(x)

u(xx)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(x)

uv(xx)u(x)v

yuu v(xx)u(x)xxx由导数的定义和可导与连续的关系

y'limyuulim[v(xx)u(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x)

x0xx0xx（2）f(x)u1(x)u2(x)un(x)

(x)u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x) f(x)u120．（本题满分11分）

a103设矩阵A1a1，且A0．

01a（1）求a的值；

（2）若矩阵X满足XXAAXAXAE，其中E为三阶单位矩阵，求X．

22a1【详解】（１）先计算Ａ的行列式：A10a01a2a10a1a3， aa1101010由于A30,所以A0，可得a0，A101 010（２）由条件XXAAXAXAE，可知(EA)X(EA2)E

22所以X(EA)1(EA2)1((EA)(EA2))1(EAA2)1

010101011由于A101，A2000，EAA2111， 010101112011312X(EA)1(EA2)1(EAA2)1111111

11221121．（本题满分11分）

1230120设矩阵A133相似于矩阵B0b0．

12a031（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵．

【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trAtrB，AB．

13a2ba4也就是． 2a3bb51（2）由

200(1)2(5)0，得A，B的特征值都为

1EB0053121,35

解方程组(EA)x0，得矩阵A的属于特征值121的线性无关的特征向量为

23；

11.2001解方程组(5EA)x0得矩阵A的属于特征值35的线性无关的特征向量为

131

1231100，则1

令P1,2,3101PAP010.0110052xln2,x022．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f(x)

x00,对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数．

求Y的分布函数；

（1） 求Y的概率分布；

（2） 求数学期望EY. 【详解】（1）X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为

P(X3)312xln2dx

8显然Y的可能取值为2,3,4,

1117且P(Yk)Ck1888（2）设S(x)k217(k1)648nk2,k2,3,4,

n(n1)xn2n2nx22(x)x,x1 31x(1x)n2n2k217E(Y)kP(Yk)k(k1)8k2n26423．（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

17S16 6481,x1f(x;)1

0,其他其中为未知参数，X1,X2,,Xn是来自总体的简单样本．

（1）求参数的矩估计量；

（2）求参数的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为

E(X)x111dx(1) 12ˆ2X1． 令E(X)X，解得参数的矩估计量：（2）似然函数为

1,x1,x2,,xn1n L(x1,x2,,xn;)(1)0,其他显然L()是关于的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使尽可能大就可以，所以

ˆmin(x,x,,x). 参数的最大似然估计量为12n

2016年数学三考研真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数yf(x)在(,)内连续，其导数如图所示，则（） （A）函数有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 （B）函数有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点 （C）函数有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点 （D）函数有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点 【答案】（B）

y0x

【解析】【解析】由图像易知选B

ex2、已知函数f(x,y)，则

xy（A）f'xf'y0（B）f'xf'y0（C）f'xf'yf（D）f'xf'yf 【答案】（D） 【解析】f'xex(xy1)xy2f'yexxy2，所以f'xf'yf

（3）设TiDi3xydx(diy1,2,3，)其中D1(x,y)0x1,0y1，

D2(x,y)0x1,0yx,D3(x,y)0x1,x2y1，则

（A）T1T2T3；（B）T3T1T2；（C）T2T3T1；（D）T2T1T3 【答案】B

【解析】由积分区域的性质易知选B.

（4）级数为

11（K为常数） sin(nk)，

nn1n1（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性与K有关

【答案】A

【解析】由题目可得，

1n1nsin(nk)1sin(nk)sin(nk)nn1nn1nn1(n1n)n1n1n1 因为sin(nk)nn1(n1n)11，由正项级数的比较判

nn1(n1n)nn别法得，该级数绝对收敛。

（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（） （A）A与B相似；（B）A与B相似；

TT11（C）AA与BB相似；（D）AA与BB相似

TT11【答案】（C）

【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得PAPB，则

1(1) (P1AP)TBTPTAT(PT)1BTAT~BT,故（A）不选；(2) (P1AP)1B1P1A1PB1A1~B1，故（B）不选；

(3)P1(AA1)PP1APP1A1PBB1AA1~BB1,故（D）不选；1T11T=B，则此外，在（C）中，对于P(AA)PPAPPAP，若PAP1（C）为正确PTAT(PT)1BT，而P1ATP未必等于BT，故（C）符合题意。综上可知，选项。

222（6）设二次型f(x1,x2,x3)a(x1x2x3)2x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别

为1,2，则（）

（A）a1；（B）a2；（C）2a1；（D）a1或a2 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当a0时，f(x1,x2,x3)2x1x22x2x32x1x3，

011其矩阵为101，由此计算出特征值为2,1,1，满足题目已知条件，故a0成立，

110因此（C）为正确选项。

7、设A,B为随机事件，0P(A)1,0P(B)1,若P(AB)1则下面正确的是（） （A）P(BA)1；（B）P(AB)0；（C）P(AB)1；（D）P(BA)1 【答案】（A）

【解析】根据条件得P(AB)P(B)

P(BA)P(AB)P(AB)1P(AB)1

P(A)1P(A)1P(A)8、设随机变量X,Y独立，且XN(1,2),Y(1,4)，则D(XY)为 （A）6；（B）8；（C）14；（D）15

【答案】（C） 【解析】因为X,Y独立，

则D(XY)E(XY)2(EXY)2EX2EY2(EXEY)2

222DX(EX)DY(EY)(EXEY)14

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9)已知函数f(x)满足limx01f(x)sin2x12，则limf(x)____ 3xx0e1【答案】6

1f(x)sin2x1f(x)sin2x1f(x)xf(x)2【解析】因为limlimlimlim2 3xx0x0x0x0e13x3x3所以limf(x)6

x0

(10)极限lim112nsin2sinnsin____． x0n2nnn【答案】sin1cos1

【解析】

1112n1niilim2sin2sinnsinlimsinxsinxdxsin1cos1

0x0nnnnx0ni1nn22(11)设函数f(u,v)可微，zz(x,y)有方程(x1)zyxf(xz,y)确定，则

dz0,1____．

【答案】dz0,1dx2dy

【解析】(x1)xy2x2f(xz,y)两边分别关于x,y求导得

2z(x1)zx2xf(xz,y)xf1(xz,y)(1zx)(x1)zy2yx(f1(xz,y)(zy)f2(xz,y))2，将x0,y1,z1代入得，

dz0,1dx2dy(12)设

D={(x,y)||x|y1,-1x1},则x2eydxdyD2_______.

【解析】Dx2eydxdy2(x2eydx)dy0021y2213y212yedy3033e

1001（13）行列式

0043200____________. 11【答案】432234 【解析】

00410301200=013+1120100411+4（-1）104+3+22+3+4. +10114、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都

取到为止，则取球次数恰为4的概率为 【答案】

2 922321111【解析】P(A)C2C3 3933三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

15 （本题满分10分）求极限limcos2x2xsinxx4

x011【解析】limcos2x2xsinxx4

x0cos2x2xsinx11x34x224x42xx1o(x4)3!24!x4limex0x4limex0e

1316、（本题满分10分）

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数QQ(p)，需求弹性

p(0)，p为单价（万元）

120p(1)求需求函数的表达式

(2)求p100万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】（1）由弹性的计算公式得

ppdQpdQ可知 120pQdpQdpdQdp Qp120分离变量可知

两边同时积分可得lnQln(p120)C 解得QC(p120) 由最大需求量为1200可知

Q(0)1200，解得C10

故Q10(p120)120010p （2）收益RQp(120010P)P

边际收益：

dRdRdp(120020p)(10)200p12000 dQdpdQ已知

dRdQ8000

p100经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元.

（17）（本题满分10分）

22设函数fxtxdtx0,求f'x，并求fx的最小值。

01【解析】当1x1时，fx当x1时，fxxx02t2dtt2x2dtx1431xx2 33x1021t2dtx2

321x34x3x2133则fx4x3x21331x232x24x2xf'x24x2x2xx11x0

0x1x1x11x00x1x1

由导数的定义可知，f'12,f'00,f'12

2x24x2x故f'x24x2x2xx11x00x1x1

上的最小值。 由于fx是偶函数，所以只需求它在0，易知f'x0,x0,1;f'x0,x1,; 可知fx的最小值为f12。 3（18）（本题满分10分）设函数fx连续，且满足

求fx

【解析】令uxt，则

fxtdtxtftdte00xxxx1，

x0xfxtdtfudufudu代入方程可得

x00x0fuduxftdttftdtex1

00x两边同时求导可得fx由于fx连续，可知

xftdte0xx1

ftdt可导，从而fx也可导。

0x故对上式两边再求导可得f'xfxe，在(1)式两边令x0可得f01

3xex解此微分方程可得fxe

22x2n2（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域和和函数。

n0n12n1x2n2【解析】令S(x)，两边同时求导得

n12n1n0x2n1，两边同时求导得 S'(x)2n02n1S\"(x)2x2nn02，两边积分可得 21xS'(x)ln1xC 1x由S'(0)0可知，S'(x)ln两边再积分可知

1xln(1x)ln(1x) 1xS(x)(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)

x2n2易知，S(x)的收敛半径为1，

n0n12n1且当x1,x1时级数收敛，可知幂级数的收敛域为[-1,1] 因此，S(x)(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)，x[-1,1]

11a100a,1，且方程组Ax无（20）（本题满分11分）设矩阵A1a11a12a2解，

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求方程组AAxA【解析】

（Ⅰ）由方程组Ax无解，可知r(A)r(A,)，故这里有A0，

TT的通解

111aA10a0a0或a2。由于当a0时，r(A)r(A,)，而当a2a11a1时，r(A)r(A,)。综上，故a0符合题目。

3221TT（Ⅱ）当a0时，AA222,A2，故

222232211001(ATA,AT)222 2011 2，

2222000001因此，方程组ATAxAT的通解为xk12,其中k为任意实数。

10（21）（本题满分11分）

011已知矩阵A230.

000（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）设3阶矩阵B(1,2,3)，满足BBA，记B100(1,2,3)，将1,2,3分别表示为1,2,3的线性组合。 【解析】

（Ⅰ）利用相似对角化。

29901由EA0，可得A的特征值为10,21,32，故A~. 23当10时，由(0EA)x0，解出此时A的属于特征值10的特征向量为12;

2当21时，由(EA)x0，解出此时A的属于特征值21的特征向量为

121;

0当32时，由(2EA)x0，解出此时A的属于特征值32的特征向量为

132.

03110111APP设P(1,2,3)212，由PAP可得，2002A99P99P1，

10031121对于P212，利用初等变换，可求出P212，故

20011121009912993110222100100A99P99P121212122212992002100112

（Ⅱ）B2229822990BA3BBB2AB2ABAA0B1A于B，由

BAB(1,2,3)，

B100(1,2,3)29)1029(，故

(1,2A9,3911 32，因此，,020,001)1(2299)1(22100)2,2(1299)1(12100)2,3(2298)1(2299)2.

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，令

x,y0x1,x2yx1,XY U0,XY（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；

（III）求ZUX的分布函数F(z). 【答案】

23,0x1,xyx（I）fx,y

0,其他（II）U与X不独立，因为PU（III）Z的分布函数

1111,XPUPX； 22220,z03z2z3,0z1FzZ2 31322z12z1,1z2221,z2【解析】（1）区域D的面积s(D)布，所以

10(xx2)1，因为f(x,y)服从区域D上的均匀分33x2yxf(x,y).

其他0（2）X与U不独立. 因为PU11111,X=PU=0,X=PXY,X 2222121111PU,PX

2222所以PU1111,XPUPX,故X与U不独立。 2222（3）F(z)P{UXz}P{UXzU0}P{U0}P{UXzU1}P{U1}

P{UXz,U0}P{UXz,U1}P{U0}P{U1}

P{U0}P{U1}P{Xz,XY}P{1Xz,XY}

0,z10,z0333232P{X1z,XY}2(z1)(z1)2,1z2 又P{Xz,XY}zz,0z1，

2211,z2,z1220,z0323zz,0z12所以F(z). 312(z1)23(z1)2,1z2221,z23x2,0x为未知参数，（23）设总体X的概率密度为fx,3，其中0，0,其他X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令TmaxX1,X2,X3。

（1）求T的概率密度

（2）当a为何值时，aT的数学期望为

【解析】（1）根据题意，X1,X2,X3独立同分布，T的分布函数为

FT(t)P{max(X1,X2,X3)t}P{X1t,X2t,X3t}

P{X1t}P{X2t}P{X3t}P{X1t}

当t0时，FT(t)0；

3t3x2t9当0t时，FT(t)3d9；

0当t0时，FT(t)1，

39t8,0t所以fT(t)9。

0,others（2）E(aT)aETa根据题意，E(aT)0t9t89dt9a， 10109a，即a

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