专题3 函数概念与性质(解析版)

专题3 函数概念与性质

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.函数 𝑓(𝑥)=ln

2−𝑥2+𝑥

的图象关于（ ）对称．

A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. y=x 【答案】C

【解析】解：要使函数有意义，则

2−𝑥2+𝑥

>0 ， 即（x﹣2）（x+2）＜0，

解得﹣2＜x＜2，则定义域关于原点对称． 又f（﹣x）=ln 2−𝑥 =﹣ln 2+𝑥=−𝑓(𝑥) ， ∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称， 故选：C．

2𝑥,𝑥<0

2.设函数 𝑓(𝑥)={ 若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）

𝑔(𝑥),𝑥>0A. −4 B. ﹣4 C. 4 D. 4 【答案】A

【解析】解：∴f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2x ， ∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x= −𝑥 ，

2

﹣

2+𝑥2−𝑥

11

1

即 𝑔(𝑥)=−2𝑥 ， 𝑔(2)=−4 ． 故选A．

3.下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（ ）

A. f（x）=x|x| B. f（x）=﹣x3 C. f（x）= sin𝑥(𝑥∈[0,]) D. f（x）=

2𝜋

ln𝑥𝑥

11

【答案】A

𝑥2(𝑥>0)

【解析】解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|= {2

−𝑥(𝑥<0)当x＞0时，f（x）=x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称， 所以当x＜0时，f（x）=﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．

1

∴2＞1，而﹣23＜﹣13 ， 所以函数f（x）=x3在定义域内不是增函数，故B不正确．

∴ 𝑥∈[0,2] 不关于原点对称，∴f（x）=sinx (𝑥∈[0,2]) 在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确． ∴f（x）= 不正确． 故选A．

ln𝑥𝑥𝜋

𝜋

的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=

ln𝑥𝑥

在定义域内不是奇函数，故D

4.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ） A. f（x）=﹣x（x+2） B. f（x）=x（x﹣2） C. f（x）=﹣x（x﹣2） D. f（x）=x（x+2） 【答案】A

【解析】解：任取x＜0则﹣x＞0， ∴x≥0时，f（x）=x2﹣2x， ∴f（﹣x）=x2+2x，①

又函数y=f（x）在R上为奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）②

由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2） 故选A

5.若幂函数y=f(x)的图象过点(3,)，则𝑓(1)为（ ）

31

A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 【答案】 C

1

1

【解析】设,因为幂函数.选C。

的图象过点,所以所以,所以

6.设偶函数𝑓(𝑥)的定义域为R，当𝑥∈[0,+∞)时𝑓(𝑥)是增函数，则𝑓(−2),𝑓(π),𝑓(−3)的大小关系是（ ）

A. 𝑓(π)>f(−3)>f(−2) B. 𝑓(π)>f(−2)>f(−3) C. 𝑓(π)是R上的偶函数，所以

2

， 又由函数在

区间上是增函数，

(4𝑥−3)

， 即：,选A。

1

7.函数𝑦=√log2

的定义域为 （ ）

A. （−∞,4） B. （−∞,1］ C. （4 ， 1］ D. （4 ， 1） 【答案】 C

3

3

3

【解析】本题求解函数定义域，由， 可以求得,选C。

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的（ ）

A. 既不充分也不必要的条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 充要条件 【答案】 D

【解析】因为函数f(x) 是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x),且以2为周期f(2+x)=f(x),则f(x) 为[0，1]上的增函数，则可知在[-1,0]上为减函数，在由x 函数,并且条件和结论等价，因此选D.

9.设函数 𝑓(𝑥) 的定义域为D，若对任意 𝑎∈𝐷 ，存在唯一的实数 𝑏∈𝐷 满足 𝑓2(𝑎)=2𝑓(𝑏)+𝑓(𝑎) ，则 𝑓(𝑥) 可以是 ( )

A. sin𝑥 B. 𝑥+𝑥 C. ln𝑥 D. 𝑒𝑥 【答案】 C

【解析】 ① 若 𝑓(𝑥)=sin𝑥 ，则 sin2𝑎=2sin𝑏+sin𝑎 ，令 𝑎=0 ，则 sin𝑏=0 有无数个b，不符合题意，排除A；

1

[3，4],可知x-4 [-1，0],那么f(x-4)=f(x),故有f(x)为[3，4]上的减

② 若 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥 ，则 (𝑎+𝑎)2=2(𝑏+𝑏)+(𝑎+𝑎) ，令 𝑎=1 ，则 𝑏+𝑏=1 无解，不符合题意，

排除B；

11111

③ 若 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥 ，则 (𝑒𝑎)2=2𝑒𝑏+𝑒𝑎 ，令 𝑎=0 ，则 𝑒𝑏=0 无解，不符合题意，排除D

故答案为：C．

10.对于函数 𝑓(𝑥)=sin𝑥+√3cos𝑥 ，给出下列选项其中正确的是（ ）

A. 函数

的图象关于点 对称

3

B. 存在 ，使

C. 存在 ，使函数 的图象关于 轴对称

D. 存在 【答案】 C

，使 恒成立

【解析】函数 𝑓(𝑥)=sin𝑥+√3cos𝑥= 2sin（x +3 ），

对于A：函数f（x）＝2sin（x + ）,当x= 时，2sin（ + ）＝2，不能得到函数 𝑓(𝑥) 的图象关于点

3

6

6

3

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

(,0) 对称．∴A不对．

6

𝜋

对于B： α∈(0,3) ，可得α +3 ∴（ 3，π𝜋𝜋2𝜋3

）， 𝑓(𝛼)∈(√3，2] ，不存在 𝑓(𝛼)=1 ；∴B不对．

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

对于C：函数 𝑓(𝑥+𝛼) 的对称轴方程为：x +𝛼+3=2+𝑘𝜋 ，可得x =𝑘𝜋+6−𝛼 ，当k＝0, 𝛼=6 时，可得图象关于y轴对称．∴C对．

对于D：f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，∴不存在 α∈(0,) ，

3π

使 𝑓(𝑥+𝛼)=𝑓(𝑥+3𝛼) 恒成立，∴D不对． 故答案为：C．

11.已知函数 𝑓(𝑥) 是定义在 𝑅 上的偶函数，且 𝑓(−𝑥−1)=𝑓(𝑥−1) ，当 𝑥∈[−1,0] 时， 𝑓(𝑥)=−𝑥3 ．则函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−|cosπ𝑥| 在 [−2,2] 上的所有零点之和为（ ） A.

B.

C.

D.

51

【答案】 A

【解析】根据函数f（x）为偶函数，可得f（−x−1）=f（x+1） ， 又由 𝑓(−𝑥−1)=𝑓(𝑥−1) ， 得f（x+1）=f（x−1） ，

即f（x+2）=f（x） ， 故函数f（x）是以2为周期的周期函数， 根据函数为偶函数，且以2为周期，作出函数f（x）和𝑦=|cosπ𝑥|的图象，

4

如图，两函数图象共有7个交点，由对称性可知实数解之和为-7. 故选A.

12.已知函数 𝑓(𝑥) 是定义在区间

成立,则实数

上的偶函数,当

时, 𝑓(𝑥) 是减函数,如果不等式

的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】 A

−2<𝑚<2

1

【解析】由已知可得 {−2<1−𝑚<2⇒−1<𝑚<2 ，

|1−𝑚|>|𝑚|故答案为：A.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.函数 f(x)=

ln(x+1)x−3

的定义域是________．

【答案】(−1,3)∪(3,+∞)

𝑥+1>0

【解析】 ∵{∴𝑥>1,𝑥≠3 ，即定义域为 (−1,3)∪(3,+∞) 是定义在 R 上的减函数，则实数

𝑥−3≠0𝑘 的值为________.

14.若函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−2)𝑥+1 为偶函数，则m的值为________.

5

【答案】 2

【解析】因为 𝑓(𝑥) 是二次函数，若其为偶函数，对称轴为 𝑥=0 即可， 则

2−𝑚2

=0 ，解得 𝑚=2 .

故答案为：2.

15.设 𝑥∈𝑅, 则 𝑓(𝑥)=|𝑥−1|+|2𝑥−1|+⋯+|9𝑥−1|+|10𝑥−1| 取到最小值时 ,𝑥= ________ 【答案】 7

【解析】解：因为 𝑓(𝑥)=|𝑥−1|+|2𝑥−1|+⋯+|9𝑥−1|+|10𝑥−1|

当 𝑥≥1 时， 𝑓(𝑥)=𝑥−1+2𝑥−1+⋯+10𝑥−1=55𝑥−10 ，所以当 𝑥=1 时函数取值最小值 45 ； 当 𝑥≤

110

1

时， 𝑓(𝑥)=−(𝑥−1)−(2𝑥−1)−⋯−(10𝑥−1)=−55𝑥+10 ，所以当 𝑥=

1

10

时函数取得最

小值 4.5 ；

当 𝑛+1≤𝑥≤𝑛(𝑛=1,2,⋯9) 时，

𝑓(𝑥)=−(𝑥−1)+⋯+(1−𝑛𝑥)+[(𝑛+1)𝑥−1]+⋯+(10𝑥−1)

=2𝑛−10+[1+2+⋯+𝑛−(𝑛+1)−⋯−10]𝑥

=2𝑛−10+[55−𝑛(𝑛+1)]𝑥 =2𝑛−10+(−𝑛2−𝑛+55)𝑥

当 𝑛≤6 时 −𝑛2−𝑛+55>0

因为 𝑛+1≤𝑥≤𝑛(𝑛=1,2,⋯9) ，所以当 𝑥>7 时， 𝑦 随 𝑥 增加而变大； 当 𝑛≥7 时， −𝑛2−𝑛+55<0 ， 因为

1n+11

1

1

1

1

≤x≤(n=1,2,⋯9) ，所以当 𝑥< 时， 𝑦 随 𝑥 增加而变小；

n

7

17

277

11

所以当 𝑥= 时， 𝑓(𝑥) 有最小值 故答案为：

71

𝑓(𝑥)−𝑎2𝑥2,𝑥≤016.已知函数 𝑓(𝑥)={ ，若存在唯一的整数 𝑥 ，使得 𝑥>0 成立，则实数 𝑎 的

−3|𝑥−1|+3,𝑥>0

取值范围为________． 【答案】 [0,2] ∪[3,8] 【解析】由

𝑓(𝑥)−𝑎𝑥

>0 得：当 𝑥>0 时， 𝑓(𝑥)>𝑎 ; 当 𝑥<0 时， 𝑓(𝑥)<𝑎 ;

6

因为当 2≥𝑥>0 时， 0≤𝑓(𝑥)≤1 ，当 𝑥>2 时， 𝑓(𝑥)<0 ，当 𝑥≤0 时， 0≤𝑓(𝑥) ，因此当 𝑎<0 时， 𝑥=1,2,⋯ ，不合题意；当 0≤𝑎≤2 时， 𝑥=1 ；

当 2<𝑥<3 时， 𝑥=1,−1 ，不合题意；当 3≤𝑥≤8 时， 𝑥=−1 ，当 𝑥>8 时， 𝑥=−1,−2,⋯ ，不合题意；因此 𝑎 的取值范围为 [0,2] ∪[3,8]。

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17（10分）.求下列函数的定义域： （1）f(x)＝

1√2−𝑥 ＋ln(x＋1)；

（2）𝑓(𝑥)=√2𝑥−1 .

2−𝑥>0x<2【答案】 （1）解：要使函数有意义则 {, ∴{∴−1𝑥+1>0x>−1∴ 函数f(x)＝

1√2−𝑥 ＋ln(x＋1)的定义域为 (−1,2) .

（2）解：要使函数有意义则 2x−1≥0∴2x≥20∴x≥0 ∴ 函数 𝑓(𝑥)=√2𝑥−1 的定义域为 [0,+∞) .

【解析】（1）由分母根式内部的代数式大于0，对数的真数大于0，求解不等式组得答案；（2）由根式内部的代数式大于等于0，解指数不等式得答案．

𝑥−1,𝑥>1

18（12分）.已知 𝑓(𝑥)=2𝑥 ， 𝑔(𝑥)={

2−𝑥,𝑥<1（1）求 𝑓(𝑔(2)) 与 𝑔(𝑓(2)) ； （2）求 𝑓(𝑔(𝑥)) 与 𝑔(𝑓(𝑥)) 的表达式.

【答案】 （1）解： ∵𝑔(2)=1 ， 𝑓(2)=4 ， ∴𝑓(𝑔(2))=2 ， 𝑔(𝑓(2))=3 （2）解： 𝑓(𝑔(𝑥))=2

𝑔(𝑥)

𝑥−1={22−𝑥

2

𝑥>1 ， 𝑔(𝑓(𝑥))={𝑓(𝑥)−1,𝑓(𝑥)>1 ={2𝑥−1𝑥>0

2−𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)<12−2𝑥𝑥<0𝑥<1

【解析】（1）根据函数的定义域，将自变量代入函数解析式即可求出结果；（2）利用代入法，即可求 𝑓(𝑔(𝑥)) 与 𝑔(𝑓(𝑥)) 的解析式，代入的时候要注意函数的定义域．

19（12分）.已知函数 𝑓(𝑥) 是定义在R上的偶函数，且当 𝑥≤0 时， 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥 ．

7

（1）现已画出函数 𝑓(𝑥) 在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数 𝑓(𝑥) 的图象，并根据图象写出函数 𝑓(𝑥) 的增区间；

（2）写出函数 𝑓(𝑥) 的解析式和值域．

【答案】（1）解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:

由图可得函数 𝑓(𝑥) 的递增区间是 (−1,0) , (1,+∞) .

（2）解：设 𝑥>0 ,则 −𝑥<0 ,所以 𝑓(−𝑥)=𝑥2−2𝑥 ,因为 𝑓(𝑥) 是定义在R上的偶函数,所以 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) ,所以 𝑥>0 时, 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥 , 𝑥2+2𝑥,𝑥≤0故 𝑓(𝑥) 的解析式为 𝑓(𝑥)={2 ,

𝑥−2𝑥,𝑥>0由图像可得值域为 {y|y≥−1} .

【解析】 (1) 由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数 𝑓(𝑥) 的图象即可,再由图象直接可写出 𝑓(𝑥) 的增区间; (2) 直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到. 20（12分）.已知函数 𝑓(𝑥)=1+

𝑥−|𝑥|4

．

（1）用分段函数的形式表示函数 𝑓(𝑥) ；

（2）在平面直角坐标系中画出函数 𝑓(𝑥) 的图象；在同一平面直角坐标系中，再画出函数 𝑔(𝑥)=𝑥(𝑥>0) 的图象（不用列表）观察图象直接写出当 𝑥>0 时，不等式 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥) 的解集．

8

1

【答案】 （1）解： 𝑓(𝑥)=1+

𝑥−|𝑥|4

1,𝑥≥01 ={ ， 1+2𝑥,𝑥<0

（2）解：两个函数的图象如图：

观察图象可知，当 𝑥>0 时，不等式 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥) 的解集为 (1,+∞) .

【解析】（1）分两段去绝对值可得分段函数 𝑓(𝑥) 的解析式；（2）作出图象，观察图象可得结果. 21（12分）.已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑚𝑥−4,𝑥∈[2,4] . （1）若f(x)的最大值为f(4)，求实数m的取值范围；. （2）若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的解析式.

【答案】 （1）解： 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑚𝑥−4 对称轴为 𝑥=− ，

2𝑚

∵𝑓(𝑥) 的最大值为f(4)，抛物线开口向上， 对称轴在区间 [2,4] 中点3的左侧， ∴−

𝑚2

≤3 ，解得 m≥−6

𝑚

（2）解：当 −2≤2 ，即 m≥−4 时， 𝑓(𝑥) 在 [2,4] 上递增， 𝑓(𝑥)min=𝑓(2)=2𝑚 ； 当 −

𝑚2

≥4 ，即 m≤−8 时， 𝑓(𝑥) 在 [2,4] 上递减， 𝑓(𝑥)min=𝑓(4)=4𝑚+12 ；

𝑚

𝑚

𝑚

当 2<−2<4 ，即 −8<𝑚<−4 时， 𝑓(𝑥) 在 [2,−2] 上递减，在 [−2,4] 上递增， 𝑓(𝑥)min=𝑓(−)=−𝑚2−4 ；

2

4

𝑚

1

2m,m≥−4

综上，f(x)的最小值 g(m)={−4m2−4,−84m+12,m≤−8

1

【解析】（1）由f(x)的最大值为f(4)，判断对称轴的位置可得不等关系，解不等式可求实数m的取值范围；.（2）讨论三种情况，当 m≥−4 时，当 m≤−8 时， 当 −8<𝑚<−4 ，分别根据二次函数的单调性求出最小值即可.

9

22（12分）.已知二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图像与x轴交于点 (1,0) 和 (2,0) ，与y轴交于点 (0,2) . （1）求二次函数的解析式；

（2）若 x∈[1,+∞) 时， 𝑦≤2𝑥2−(𝑡+3)𝑥+6 恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】 （1）解：因为二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图象与x轴交于点 (1,0) 和 (2,0) ，与y轴交于点 𝑎+𝑏+𝑐=0

(0,2) .代入二次函数表达式有 {4𝑎+2𝑏+𝑐=0

𝑐=2解得 𝑎=1,𝑏=−3,𝑐=2

∴二次函数的解析式为 𝑦=𝑥2−3𝑥+2

（2）解：因为 𝑥∈[1,+∞) 时， 𝑦≤2𝑥2−(𝑡+3)𝑥+6 恒成立， 即 𝑥2−3𝑥+2≤2𝑥2−(𝑡+3)𝑥+6 ，化简得 𝑡𝑥≤𝑥2+4 故有 𝑡≤

4

𝑥2+4𝑥

=𝑥+𝑥 对任意 𝑥∈[1,+∞) 恒成立

4

4

∴ 𝑥+𝑥≥2√𝑥⋅𝑥=4 ，当且仅当 𝑥=2 时取等号. ∴ 𝑡≤4

∴实数t的取值范围是 (−∞,4]

【解析】（1）根据题意中的条件，运用待定系数法求出二次函数的表达式；（2）先将不等式进行化简，分离参量，然后运用基本不等式求出最值，解答恒成立问题.

10