2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)

2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（ ） A．（2，4） B．{2，4} C．{3} D．{2，3}

2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（ ） A．x2＜y2 B．3．（5分）已知向量A．﹣1 B．0 4．（5分）若A．﹣3 B．3

C．C．1

D．2

，则tan2α=（ ） D． C．x2＞1

，

D．y2＜1

，若

，则x的值是（ ）

5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．

A．13 B．14 C．15 D．16

6．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得ex0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A．p

B．¬q C．p∨q

D．p∧q

7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（ ） A．（4，5） B．（4，6） C．{5} D．{6} 8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+点的距离是

cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低

，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，

则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=0 B．

C．

D．

1

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

9．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论： ①

；②

；③

．

则其中正确的结论个数是（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（ ） A．2﹣2

B．1﹣2

C．﹣2 D．﹣1

12．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+A．[﹣2，2]

B．

C．

D．

c的取值范围是（ ）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x，y满足约束条件

，则z=2x+y的最小值是 ．

14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是 ． 15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，分点，则

= ．

，且M，N是边BC的两个三等

16．（5分）已知数列{an}的首项a1=m，且an+1+an=2n+1，如果{an}是单调递增数列，则实数m的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

2

的部

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

（2）设，且，求sin2α的值．

18．（12分）设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围． 19．（12分）在△ABC中，（1）求∠ADC的大小； （2）若

，求△ABC的面积．

，D是边BC上一点，且

，BD=2．

的前n项和为Tn．

20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）． （1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；

（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围． 21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+（1）求f（x）的单调区间； （2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣

．

2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）设

，

，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B

（α为参

两点，求△AOB的面积． .[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|． （1）解不等式f（x）≥6；

（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．

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3

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（ ） A．（2，4） B．{2，4} C．{3} D．{2，3}

【解答】解：集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，

B={2，3，4}， 则A∩B={2，3}， 故选：D

2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（ ） A．x2＜y2 B．

C．x2＞1

D．y2＜1

【解答】解：∵x＞y，且x+y=2， ∴x＞2﹣x， ∴x＞1， 故x2＞1正确， 故选：C

3．（5分）已知向量，

，若

，则x的值是（ A．﹣1 B．0

C．1

D．2

【解答】解：根据题意，向量，

，

若

，则有2x=（x﹣1），解可得x=﹣1，

故选：A． 4．（5分）若，则tan2α=（ ）

A．﹣3 B．3 C．

D．

【解答】解：∵=

，可求tanα=﹣3，

∴tan2α==

=．

故选：D．

4

）

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．

A．13 B．14 C．15 D．16

【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，

∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费， ∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元， ∵该职工这个月缴水费55元，

∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x﹣10）×5， ∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x﹣10）×5=55， 解得：x=15， 故选：C．

6．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得ex0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A．p

B．¬q C．p∨q

D．p∧q

【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得： 命题p：∃x0∈R，使得ex0≤0为假命题， 若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣1=b﹣2或a﹣1=﹣b+2 即a﹣b=﹣1，或a+b=3，故命题q为假命题， 故¬q为真命题； p∨q，p∧q为假命题， 故选：B

7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（ ） A．（4，5） B．（4，6） C．{5} D．{6} 【解答】解：因为f（x+2）=f（x）， 所以f（x）的周期为2，

5

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

在x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|．

画出函数f（x）与g（x）=logax的图象如下图所示；

若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，

则函数g（x）=logax的图象过（5，1）点， 即a=5， 故选：C

8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+点的距离是

cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低

，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，

则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=0 B．

C．

D．

【解答】解：∵函数f（x）=sinϖx+高点与相邻最低点的距离是

，

cosϖx=2sin（ωx+）（ϖ＞0）图象的最

∴设函数f（x）的周期为T，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（∴T=2=

，解得：ω=π，

），

]=2sin（πx+

）2，解得：T=2，

∴f（x）=2sin（πx+

∴y=g（x）=f（x﹣）=2sin[π（x﹣）+∵令πx+

=kπ+

），

，k∈Z，解得：x=k+，k∈Z，

∴当k=0时，函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是：x=． 故选：C．

9．（5分）在△ABC中，“C=

”是“sinA=cosB”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：“C=

”⇔“A+B=

”⇔“A=

﹣B”⇒sinA=cosB，

”不一定成立，

反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=

6

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，

故选：A．

10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论： ①

；②

；③

．

则其中正确的结论个数是（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【解答】解：∵0＜a＜b＜1， 故y=故

y=bx为减函数，y=

为减函数，y=xa在（0，+∞）上为增函数，

，即①正确；

在（0，+∞）上为增函数，

，即②错误；

y=logax与故

在（0，+∞）上均为减函数，

，

．即③正确；

故选：B

11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（ ） A．2﹣2

B．1﹣2

C．﹣2 D．﹣1

=

，

【解答】解：∵f′（x）=1﹣

∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0， ∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（﹣1）=0， ∴f（x）只有唯一一个零点x=﹣1，即x1=﹣1， ∵|x1﹣x2|≤1，∴﹣2≤x2≤0， ∴g（x）在[﹣2，0]上有零点，

（1）若△=4a2﹣4（4a+4）=0，即a=2±2

，

7

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

此时g（x）的零点为x=a， 显然当a=2﹣2

符合题意；

或a＞2+2

，

（2）若△=4a2﹣4（4a+4）＞0，即a＜2﹣2

①若g（x）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g（﹣2）g（0）≤0， ∴a=﹣1，

②若g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，则，

解得﹣1≤a＜2﹣2．

综上，a的最小值为﹣1． 故选：D．

12．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+A．[﹣2，2]

B．

C．

D．

c的取值范围是（ ）

【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcosx+csinx，b2+c2=1， ∴f′（x）=a+ccosx﹣bsinx=a﹣sin（x﹣φ），其中tanφ=， 则f′（x）∈[a﹣1，a+1]，

若存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切， 则存在k1，k2∈[a﹣1，a+1]，使k1k2=﹣1， 由（a﹣1）（a+1）=a2﹣1≥﹣1得： a=0， 则a+故a+故选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x，y满足约束条件

，则z=2x+y的最小值是 3 ．

c=c∈[﹣

c=，

sin（φ+θ），其中tanθ=]，

，

8

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

【解答】解：作出约束条件由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，

对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小， 此时z最小． 由

，解得A（1，1），

代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3． 即目标函数z=2x+y的最小值为3． 故答案为：3．

14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是 （﹣，） ．

【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则（2x+1）=f（|2x+1|）， 又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1， 则f（2x+1）＜1⇒f（|2x+1|）＜f（2）⇒|2x+1|＜2， 解可得﹣＜x＜；

则x的取值范围是（﹣，）； 故答案为：（﹣，）．

15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，分点，则

=

．

，且M，N是边

，且M，N是边BC的两个三等

【解答】解：根据题意，如图△ABC中，AB=2，AC=4，BC的两个三等分点， 有=则

=++==（

=+++==

+（+（）•（

﹣﹣+

）=）=）=

+

2+

+， ，

2+

•=；

9

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

即=； ．

故答案为：

16．（5分）已知数列{an}的首项a1=m，且an+1+an=2n+1，如果{an}是单调递增数列，则实数m的取值范围是 （，） ． 【解答】解：根据题意，数列{an}中，an+1+an=2n+1，

对其变形可得[an+1﹣（n+1）]+（an﹣n）=0，即an+1﹣（n+1）=﹣（an﹣n）， 又由a1=m，则a1﹣1=m﹣1，

当m=1时，an﹣n=0，则an=n，符合题意，

当m≠1时，数列{an﹣n}是以m﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列， 则an﹣n=（m﹣1）×（﹣1）n， 即an=（m﹣1）×（﹣1）n+n， 则an﹣1=（m﹣1）×（﹣1）n﹣1+n﹣1， 当n为偶数时，an﹣an﹣1=2（m﹣1）+1，① 当n为奇数时，an﹣an﹣1=﹣2（m﹣1）+1，② 如果{an}是单调递增数列，则有解可得＜m＜，

即m的取值范围是（，）∪（1，）； 故答案为：（，）．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式； （2）设

，且

，求sin2α的值．

的部

，

【解答】解：（1）由图得，A=2． …（1分）

10

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

，解得T=π，

于是由T=∵∴又所以即

（2）由已知因为∴∴=

=

=

． …（12分） ，所以

，

． …（6分）

，即

， ，

． …（8分）

，得ω=2．…（3分）

，即

，k∈Z，即，

， ，k∈Z，

18．（12分）设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0）， 由S3=15有3a1+

=15，化简得a1+d=5，①…（2分）

的前n项和为Tn．

又∵a1，a4，a13成等比数列，

∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②…（4分） 联立①②解得a1=3，d=2，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． …（5分） ∴∴

，

．

11

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

…（7分）

（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴

，

，…（9分）

≥6，当且仅当n=3时，等号成立，

≥162，…（11分）

∴t＜162． …（12分） 19．（12分）在△ABC中，（1）求∠ADC的大小； （2）若

，求△ABC的面积．

，

，D是边BC上一点，且

，BD=2．

【解答】解：（1）△ABD中，由正弦定理得∴∴

．

，故AB=BD=2．

，

，

（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=

在△ACD中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC， 即

整理得CD2+6CD﹣40=0， 解得CD=﹣10（舍去），CD=4， ∴BC=BD+CD=4+2=6． ∴S△ABC=

．

，

20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）． （1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；

（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），…（1分）

12

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

由f'（x）＞0解得或x＜﹣1；由f'（x）＜0解得

上单调递减，在

，

上单调

又x∈[﹣1，2]，于是f（x）在递增．…（3分） ∵

∴f（x）最大值是10+a，最小值是

，

．…（5分）

（2）设切点Q（x，x3+x2﹣x+a），P（1，4）， 则

，

整理得2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a=0，…（7分） 由题知此方程应有3个解． 令μ（x）=2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a，

∴μ'（x）=6x2﹣4x﹣2=2（3x+1）（x﹣1）， 由μ'（x）＞0解得x＞1或即函数μ（x）在递减．…（10分）

要使得μ（x）=0有3个根，则解得

，

． …（12分）

2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．

，由μ'（x）＜0解得，（1，+∞）上单调递增，在

，

上单调

，且μ（1）＜0，

即a的取值范围为

21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣【解答】解：（1）分）

．

． …（1

①当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（3分） ②当a＞0时，由f'（x）＞0解得

，由f'（x）＜0解得

．

13

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

即f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增；

综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）； a＞0时，f（x）的单调递减区间是

． …（5分）

（2）由（1）知f（x）在增， 则

要证f（x）≥即证lna≥构造函数

，即证．…（8分）

，则

，

． …（6分）

≥

，即lna+

≥0，

上单调递减；f（x）在

上单调递

，f（x）的单调递增区间是

由μ'（a）＞0解得a＞1，由μ'（a）＜0解得0＜a＜1，

即μ（a）在（0，1）上单调递减；μ（a）在（1，+∞）上单调递增； ∴即

≥0成立．

成立．…（12分）

，

从而f（x）≥

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C的极坐标方程； （2）设

，

，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B

（α为参

两点，求△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是

（α为参数），

∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， 即x2+y2﹣6x﹣8y=0． …（2分）

14

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把∴把∴∴

AOB=

代入ρ=6cosθ+8sinθ，得

． …（6分）

代入ρ=6cosθ+8sinθ，得

． …（8分）

S

=

，

，

△

=． …

（10分）

.[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|． （1）解不等式f（x）≥6；

（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．

【解答】解：（1）当x≤

时，f（x）=﹣2﹣4x，

由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，…（2分） 当

时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…（3分）

当x≥时，f（x）=4x+2，

由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…（4分）

所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分） （2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4， 即f（x）的最小值m=4． …（7分） ∵a•2b≤

，…（8分）

，

由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥

，

．…（10分）

∴a+2b的最小值为

15