反常积分敛散性的判别方法.王康

反常积分敛散性的判别方法

摘 要

反常积分是一门应用性很强的年轻学科，其主要运用数学方法研究各种反常积分解决的途径和方案，从数学的角度表达了人们处理数学问题所遵循的的一种理念，反常积分的敛散性作为反常积分的主要一个分支，现已成为众多学者们研究的焦点。在实际问题的求解过程中，对于反常积分敛散性的判别方法的研究具有重要的理论意义。

全文共分为三个部分。

第一部分为绪论部分，主要介绍了反常积分敛散性的概况，求解反常积分敛散性问题所设计的基本概念，以及本文的容安排。

第二部分基于反常积分敛散性的根值判别法来判断反常积分的敛散性，在理论上证明了算法的收敛性，通过数值实验说明了算法的可行性。

第三部分以反常积分敛散性的数列式判别法为基础进行研究，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散。

关键词：反常积分；敛散性；Cauchy判别法；无穷积分；瑕积分；反常积分的发散。

Anomalous integral convergence and divergence of the judgement method

Abnormal integral is a young discipline with strong applicability, which mainly

uses the way and scheme of various mathematical methods to solve the abnormal points, from the angle of mathematics to express a concept that people deal with mathematical problems followed, convergence of abnormal integral as a main branch of abnormal integral, has become the focus of many scholars study. In the process of solving practical problems, the convergence of abnormal integral has important theoretical significance for the research on the identification method.

This paper is divided into three parts.

The first part is the introduction, mainly introduces the anomalous divergence of integration of basic concepts, ofmathematics convergence problem is designed, and the contents of this paper.

The second part of the convergence of abnormal integral value discriminant method to judge the convergence of abnormal integral based on, the convergence of the algorithm is proved in theory, numerical experiments show the feasibility of the algorithm.

The third part of the anomalous integral divergence type sequence of discriminant analysis based on the sequence, and the convergence of convergence of abnormal integral combination, using the sequence properties, more simple and intuitive to distinguish the divergence of abnormal integral.

Keywords: abnormal integral; convergence; Cauchy discriminant analysis; infinite integral; infinite integral; generalized integral divergence.

目录

引 言 .................................................................................................................... 1

第1章 绪论 ......................................................................................................... 2

1.1基本概念介绍 ................................................................................................ 2

1.2几种常用的计算方法 .................................................................................... 5

1.3反常积分敛散性的判别常用算法 ............................................................... 6

1.4本文容安排 .................................................................................................. 10

第2章 反常积分敛散性的根值判别法 ........................................................ 11

2.1引言 .............................................................................................................. 11

2.3小结 .............................................................................................................. 14

第3章 反常积分敛散性的数列式判别法 .................................................. 15

3.1引言 .............................................................................................................. 15

3.2算法的提出 .................................................................................................. 17

3.3算法的描述 .................................................................................................. 18

3.4小结 .............................................................................................................. 18

结论与展望 ......................................................................................................... 20

致 谢 ............................................................................................................. 21

参考文献 ............................................................................................................. 22

附 录 ................................................................................................................. 23

附 录A 一篇引用的外文文献及其译文 ..................................................... 23

附 录B 主要参考文献的题录及摘要 ......................................................... 26

引 言

反常积分在诸多领域具有广泛应用的，其性质及应用引起人们极大的研究兴趣。目前对于反常积分的研究，主要集中在理论研究。在积分的历史上，反常积分可以说是积分这个大家庭中的小兄弟，虽然反常积分是刚刚兴起的理论，但是它在高等数学、物理学及概率论、统计学等学科中得到了重要应用，随着数学及相关学科的发展，越来越多的人开始关注并开始学习反常积分，并且基本上已经形成理论体系。这些理论的产生无疑对积分的发展乃至相关学科的发展都是大有裨益的。通过对反常积分的不同层次方面的研究，确定了一些可以解反常积分的特殊方法，让我们对反常积分的解法有更深层次理解[1]；确定了含参量反常积分的定义和含参量反常积分的解法以及在生活中的应用，含参量的反常积分

的进一步研究可以更好地研究反常积分敛散性[2~5]；通过欧拉公式来对反常积分进行研究，从积分的深层次对反常积分开展讨论[6]；通过对反常积分的性质方面入手，通过研究反常积分的性质来研究反常积分的敛散性[7]；研究反常积分与无穷级数收敛性关系，通过对无穷级数收敛性的探析，来和反常积分进行对比，从而得到反常积分的性质[8]；以反常积分在教学中的学习，以及解反常积分的数列式判别法来判断反常积分的敛散，让我们能更具体的学习和了解反常积[9~10];对一些国外数学家对反常积分敛散性的研究，通过外文文献更具体的了解反常积分[11~12]。

多年来，人们对反常积分的研究，取得了不少成果。而反常积分的敛散性也被越来越多的人所研究，如何通过反常积分的定义和性质来判断反常积分的敛散性成为重要一环，下面的文献为反常积分的定义，反常积分的原理，反常积分的计算和解答，反常积分在生活中的应用给出了具体的解释。

反常积分的定义如下：设函数ƒ定义在区间a,b上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何闭区间u,ba,b上有界且可积.如果存在极限

limfxdxJ，

ab则称此极限为无界函数ƒ在a,b上的反常积分，记作

Jfxdxab，

并称反常积分abfxdx收敛，如果极限

limfxdxJab不存在，这时也说反常积分

fxdx发散。

ab

本文主要对反常积分的敛散性的不同判别方法进行研究。

第1章 绪论

反常积分敛散性的判别方法是分析数值计算领域中十分活跃的研究课题，如何快速地判别反常积分的收敛也发散以成为当今的焦点，由于反常积分在分析学中的显著作用，对反常积分的敛散性的研究具有重要的理论意义和实际价值。

反常积分的定义如下：设函数ƒ定义在区间a,b上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何闭区间u,ba,b上有界且可积.如果存在极限

limfxdxJ，

ab则称此极限为无界函数ƒ在a,b上的反常积分，记作

Jfxdxab，

并称反常积分abfxdx收敛，如果极限

limfxdxJab不存在，这时也说反常积分

fxdx发散。

ab 求解反常积分敛散性问题时将会涉及以下概念：

（1）反常积分：反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称

无界函数的反常积分）。

（2）瑕点：设函数f定义在区间a,b上，在点a的任一右领域上无界，但是在任何一闭区间u,ba,b上有界且可积，如果存在极限

ualimfxdxJab

则称此极限为无界函数f在a,b上的反常积分，记作

Jfxdxab

不存在，这时也说明反常积分ab并称反常积分a发散。

bfxdx收敛，如果极限

Jfxdxabfxdx由上面的定义知，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分

Jfxdxab有称为瑕积分。

类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：

fxdxfxdx=ulimab

abu其中f在a,b有定义，在点b的任一邻域上无界，但是在任何a,ua,b上可积。 若f的瑕点ca,b，则定义瑕积分

fxdx=fxdxfxdx

abcbac=

ucalimfxdxlimfxdx

vcvub其中f在a,cc,b上有定义，在点c的任一邻域上无界，但在任何a,ua,c和

v.bc,b上都是可积的。当且仅当

limfxdxlimfxdxavcvubuc

右边2个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。

又若a,b两点都是f的瑕点，而f在任何u,vc,b上可积这时定义瑕积分

=cafxdxfxdxcbfxdx

ab=

ualimfxdxlimfxdxuvbccv

其中c为a,b上任一实数。同样的当且仅当

ualimfxdxlimfxdxuvbccv

式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。 fxdxfxdx（3）绝对收敛：若f在任何有限区间a,u上可积，且有a收敛，则a亦必收敛，并有 当aafxdxafxdx fxdx收敛时，称afxdx为绝对收敛，由定理知：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛，但是他的逆命题一般不一定成立，今后举例说明收敛的无穷积分不一定收敛。 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。 （4）比较原则：设定义a,b上的两个函数f和g，瑕点同为xa，在任何u,ba,b上都可积，且满足 0fxgx,xa,b b则当agxdx收敛时，bafxdxgxdx发散时，亦必发散。 ab（5）Cauchy判别法:Cauchy判别法即柯西判别法，设是正项级数，若从某一项起（即存在，当时）成立着为某一确定的常数，则级数收敛；若从某一项起成立着1，则级数发散。又若

fx0，gx˃0，且xalimfxcgx 则有 （i）当0c，abfxdxgxdx与同收敛或者发散； ab（ii）当c0时，由abgxdx知abfxdx也同样收敛； （iii）当c时，由abgxdx知abfxdx也同样发散。 特别的，如果选用badxxap作为比较对象，则我们有如下两个推论（称为柯西判别法）。 另设f定义于a,b，a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积，则有： 1bpxa，且0p1时，afxdx收敛； （i）当0fx（ii）当fx1bpxa，且p1时，afxdx发散。 同时设f是定义于a,b上的非负函数，a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积，如果 limxapfxxa

则有： （i）当0p1,0时，abfxdx收敛； （ii）当p1,0时，abfxdx发散。 （6）可积的充要条件：函数f在a,b上可积的冲要条件是f在a,b上的上积分与下积分相等，即 Ss （7）达布定理：上、下积分也是上和与下和在T0时的极限，即 limSTS,limsTsT0T0 （8）对于函数 （9）fxdxafxdxafxdx （10）的收敛性与收敛的值，都和实数a的选取无关。 （11）由于无穷积分 （12）fxdxafxdxafxdx

（13）是由ualimfxdxJ和 （14）bufxdxlimuufxdx b（15）两类无穷积分来定义的，因此，f在任何有限区间v,u,上，首先必须是可积的。 （16）无穷积分a便有 fxdx收敛的冲要条件是：任给˃0，存在Ga，只要u1,u2˃G，u2afxdxfxdxau1fxdx u1u2˂ 反常积分收敛性的几种判别方法

反常积分敛散性的判别有多种方法，随着时代的进步，数学的研究与发展，越来越多的学者开始对反常积分的敛散性进行讨论，在原有的判别方法上，数学工作者们探讨出了更多的，更简洁，更方便的判别方法。着让我们能更直观的去了解反常积分的敛散性，其多数问题都是连续可导的，因此在这里我们选择反常积分敛散性的根值判别法，反常积分的数列式判别法来进行简单的介绍。

1、反常积分敛散性的根值判别法

根值审敛法是判别级数敛散性的一种主要方法，是由法国数学家柯西首先发现并证

明的，其具体定义如下：

设是正项级数，若从某一项起（即存在，当时）成立着为某一确定的常数，则级数收敛；若从某一项起成立着1，则级数发散。又若 fxcgx fx0，gx˃0，且xalim则有 （i）当0c，abfxdxgxdx与同收敛或者发散； ab（ii）当c0时，由abgxdx知abfxdx也同样收敛； （iii）当c时，由abgxdx知abfxdx也同样发散。 特别的，如果选用badxxap作为比较对象，则我们有如下两个推论（称为柯西判别法）。 另设f定义于a,b，a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积，则有： 1bpxa，且0p1时，afxdx收敛； （i）当0fx（ii）当fx1bpxa，且p1时，afxdx发散。

同时设f是定义于a,b上的非负函数，a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积，如果 limpxafxxa 则有： fxdx0p1,0a（i）当时，收敛； bfxdxp1,0a（ii）当时，发散。 b2、反常积分敛散性的数列式判别法

反常积分的数列式判别法将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散，它是一种更为方便的计算方法。具体定义如下：

xdx21x收敛于A当且仅当对任意数列an，

函数fx在a.上有定义，则无穷积分

naliman，有

n0limfxdxA

ax证明：由于0fxdxA，所以

palimfxdxA0,M0,p:pM

p

有

fxdxAap0

又

nliman对上述M0,NN,nN有anM.

反证法：假设aanafxdxAlimnafxdxA

anfxdx不收敛于A，则

palimfxdxAp00,pM,

使

fxdxA.

a0p取 M1,P12 有

fxAAP10.

Mmax2,p1p2有

p2zfxdxA0

Mmaxn,pn1pnn且

pn从而得到数列pn，

afxdxA0

pnpan nlim

但

pnafxdxA0与已知的矛盾，所以afxdxA.证明完毕。

下面我们就反常积分敛散性的根值判别法和反常积敛散性的数列式判别法给出具体的分析和计算。

本文的容安排

全文共分为三个部分。

第一部分为绪论部分，主要介绍了反常积分敛散性的概况，求解反常积分敛散性问题所设计的基本概念，以及本文的容安排。

第二部分基于反常积分敛散性的根值判别法来判断反常积分的敛散性，在理论上证明了算法的收敛性，通过数值实验说明了算法的可行性。

第三部分以反常积分敛散性的数列式判别法为基础进行研究，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散。

第二章 反常积分敛散性的根值判别法

摘要：由于积分在理论上和级数是统一的，,因此有关正项级数的根式判别法可被推广

以判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.设fx是[ a，+ )上的非负函数，lim当˂1时，反常积分axfx=.则

fxdx收敛。而当˃1时，反常积分axafxdxb发散；设fx是a,b上的非负函数，a为瑕点，xa时，反常积分ablimfxfxdxa=.则当˂1时，反常积分收敛。而当˃1

fxdx发散。

反常积分敛散性的判定是分析学的重要容,它与无穷级数联系非常紧密，本文将正项级数敛散性的根式(Cauchy)判别法推广到反常积分敛散性的判别上。

定理1 设fx为a,上的非负函数，若

fxxlimx.

则当˂1时，反常积分afxdx收敛；当˃1时，反常积分afxdx发散.

证明 （1）取

12（0˂˂1）

存在A˃0，任给x˃A时，

11x2˂fx˂2

11xfx—2˂˂2=0（0˂0˂1）

fx˂

x0.x˃A

而

1x0axln0

lima0xlim1ln0xx0a01ln00a

收敛，从而afxdx收敛。

12˃0，

（2） 由˃1，取

存在A˃0，任给x˃A，有

11xfx2˂2， ˂

11x2˂fx， 1˃1

1x˂fx， x˃A.

而

1.xlim1axln1

x1a

11x1axln lim发散，故afxdx发散。

 例1. 判断

2x1axx˃0的敛散性（a˃0） 0解 记

2x1ax˃0 fx=x则

2xfx,1ax

xlimx2fx.a

由定理（1）可知当a˃2时，反常积分收敛，0˂a˂2是，反常积分发散； 定理2. 设fx在a,b上有定义，fx0，任给ca,b，fx在c,b上可积，且

limfx,limfxxaxaxa,

b则当˂1时，反常积分afxdx收敛，反之当˃1时，反常积分abfxdx发散；

证明.（1） 由˂1，取

12，

则存在˃0，任给x满足0˂xa˂,有

11pxa2˂fx˂2=

102 （0˂0˂1）

所以

1xa00fx˂

令

xa1t，则

1tdt20atba111tt20dt,120b1tta

b1xa0dx1

当t˃1时，

1t0t2t00˂˂ ，

而

0t0dtlim1x1tt0lim0xln01=

xxlim1ln0x000010,ln0

从而

111tbbxadtfxdxedx2t收敛，由上面的式子可得a收敛，由上式知a收敛。

（2） 由˃1，取

12

则存在˃0，任给x满足0˂xa˂，有

111xafx2˂22 ˂

0112fxxa,11.

所以

1xa1fx.xxa

令

xa1t，则

由于

ba1xa1dx11.dt21bat

tlim1.t2.

知

1ba1.2t发散，即ab1xa1dxfxdx发散，则由上式知发散；

ab小结：本部分介绍了反常积分敛散性的根值判别法，通过敛散性的根值判别，来解决反常积分的收敛与发散，并且分析了此算法的优势和缺点，在理论上证实了此算法的可行性，同时通过一些举例进行计算，通过数值结果证明了此判别法的可行性。

第三章 反常积分敛散性的数列式判别

本文将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散.

对于两类反常积分:无穷积分与瑕积分,用定义判别其收敛与发散时,通常会有如下疑问:

1.若afxdx与afxdx都发散时，无穷积分fxdx是否一定发散？并证明为什么？

2.如果afxdx发散于，afxdx发散于，那么

fxdxafxdxafxdx

是收敛还是发散？如下例：

xdx1x2判断无穷积分的敛散性.

由于fxdx=

xxdx1x201x2dx 是未定型，那么它是收敛还是发散的？

x1x2在,连续，而且对于每一个x,，有

错误解法：由于

x,，

fxfxxfx1x2

所以fx在,上式奇函数，对任意p˃0，

fxdx0，

ppfxlimx0p1x2p

p从而得

x1x2收敛于0,.

xdx1x2这种方法的错误在于只考虑了无穷积分，的柯西主值，却没有考虑发散定义

中的上，下限的任意性。

对于无穷积分,如果用数列来判别其发散,则会更为简单、直观.我们有如下的定理成立:

xdx21x收敛于A当且仅当对任意数

定理1 函数fx在a.上有定义，则无穷积分列an，nlimana，有

n0limfxdxA

ax证明：由于0fxdxA，所以

palimfxdxA0,M0,p:pM

p有

pfxdxAa0

又

nliman对上述M0,NN,nN有anM.

反证法：假设aanafxdxAlimnafxdxA

anfxdx不收敛于A，则

palimfxdxAp00,pM,

使

fxdxA.

a0p取 M1,P12 有

fxAAP10.

Mmax2,p1p2有

p2zfxdxA0

Mmaxn,pn1pnn且

pnafxdxA0

从而得到数列pn， pnpan nlim

但

pnafxdxA0与已知的矛盾，所以afxdxA.证明完毕。

fxdxAfx,a推论 1 若在上有定义，则 .当且仅当对任意数列an,bn，

nliman,limbnn

有

nanlimfxA.

bn推论2 若fx在a,有意义，而且存在数列an，

nliman,limnafxdx

an（或者不存在），则无穷积分afxdx发散。

推论 3 若fx在a,上有定义，而且存在数列anbn，

nliman,limnaaxfxdxlimnafxdx,

bx则afxdx发散。

..aabbfx,推论4 在上有定义，且存在数列bnnn,

n..limanliman,limbnlimbn,nnn

有

nanlimfxdxlimfxdx,

.nanbn.bn则

fxdx是发散的.

利用上面的结论判别例题的敛散性如下:

.an,bn,bnn2n,则 取nn.liman,limbnlimbnnn

而

x0n1x2n

nnanlimbnfxdxlimnanlim.bnx14n2fxdxlimdxlimlnln2,ln20.2nn1x2n1n

2n

所以无穷积分发散。

fxdx发散。可以看出,利用数列方法很明了地说明了上面无穷积分的

对于瑕积分也有类似的结论。

fxfxa,bfxa定理 2 设函数在上有定义，b是的瑕点，则瑕积分收敛于A，当

b且仅当对任意数列bn，存在NN，

nN,bnb.limbnbn

有

nalimfxdxA

bn推论 1 设函数fx在a,b上有定义，b是fx的瑕点，如果存在数列bn，

bnb,limbnbn有

nalimbnfxdxfxdx，或者不存在，则瑕积分发散。

ab推论 2 设函数fx在a,b上有定义，b是fx的瑕点，如果存在数列anbn，anb，

bnb，且

nlimanlimbnbn有

nalimanfxdxlimnafxdx,

bnfxdx则瑕积分是发散的。

ab

小结：本部分主要介绍了反常积分敛散性的数列式判别法，通过一些例子的错误解法，来更直观的的了解什么是数列式判别，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散.

结论与展望

反常积分敛散性是当今数学领域的热点问题。反常积分敛散性问题的求解也成为众多学者探索的焦点。关于求解反常积分敛散性问题的算法确实很多，由于反常积分敛散性的问题与人们的生活息息相关，深入研究反常积分问题的算法能够为许多实际问题的解决提供极大的帮助。

本文第一部分主要针对反常积分敛散性问题的求解做了大量的研究，在前人的基础上提出两种新的判别法，在理论方面分析了算法的可行性，并用数值实验对提出算法的有效性进行了验证。通过与其它算法的比较说明了算法具有一定的优势，但同时也说明其存在一定的缺点。

第二部分提出反常积分敛散性的根值判别新算法，其具有好的收敛性，具备两种算法的优点，而且表现出良好的计算性能。但是有关算法中参数a如何选取才能使算法达到最优还需进一步考虑。

第三部分提出的一种新的反常积分敛散性的判别法。文章不仅从理论方面证明了算法是全局收敛的，还通过计算和举例的实验结果说明了算法的有效和可行性。并且，文章通过几种算法的比较实验验证了算法是有效的。但在数值实验中，a具有其在规律还有待进一步研究。

bfxdx的敛散性判别是否

致 谢

值此论文完成之际，首先向尊敬的戴华老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意。

时光如梭，转眼间四年的学习生活即将结束。戴老师给予我耐心的指导和无私的帮助。她渊博的学识、严谨的治学态度及忘我的工作作风给我留下了深刻的印象，是我永远学习的楷模。戴老师的悉心教导将我领入科学的殿堂，使我渐渐明白了怎样思考问题，如何从事科学研究；同时，老师的严格要求和关心鼓励使我在学业上有了新的进步。总而言之，由衷感激和崇高敬意是无法用言语表达的，学生唯有铭记于心。

感谢我的家人，感谢他们对我的抚育、关怀、鼓励与支持。正是他们的爱让我感到温暖与幸福，他们的爱是我奋斗的动力。我会用更好的成绩回报他们。

感谢学校对我的栽培，感谢辅导员及授课老师对我的谆谆教导。

最后，向所有关心我、爱护我和给予我帮助的人再一次致以诚挚的谢意!

作者：

2015年 05月1日

参考文献

[1]唐雄.计算含参量反常积分的一些特殊方法[J].大学学报（自然科学版）.2008，7 (02): 25-30

[2]志广.含参量X的无界反常积分[J]。大学学报（自然科学版）.2012 ， 18 (05): 233-237

[3]牛怀岗.含参量反常积分性质探析[J].学院学报.2013，41（06）: 122-127

[4]王金花，志平.含参量反常积分一致收敛性[J].师学院学报.2013，11 (02):21-28

[5]永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J].师学院学报2006, 3（06）: 22-26

[6]红爱，尚林.欧拉公式在计算反常积分中的应用[J].数学学习与研究.2010，14 (13) : 1-7

[7]王欣，屈娜，吴莎莎.对反常积分性质的再讨论[J].数学学习与研究.

2012（17）:65-67

[8]娟.反常积分与无穷级数收敛性关系探析[J].学院学报.2013（06）:44-46

[9]肖氏武.关于反常积分习题课的教学[J].高等数学研究.2014，16（04）: 178-181

[10]何美.反常积分敛散性的数列式判别法[J].职业技术学院学报. 2013，9（01）: 47-54

[11] Constancy Hogan. Scheduling concurrent production over a finite planning

horizon:Polynesian

solvable

cases[J].Computer&Operations

Restart,2000,27(14) 89-97.

[12] A Ruskin, M.Fakir,M.A. Latina est at .Receding horizon iterative dynamic programming

with

discrete

time

mode

ts[J].Computer

&

Chemical

Engineering,2001.25(1) 78-110.

[13]Maxi-me Paved .Perish Pompadours, Lena Madmen est at .Optimization of superannuation

layers

based

on

candle

soot[J].Pure

and

Applied

Chemistry,2014,86(2) 112-145.

附 录

附 录A 一篇引用的外文文献及其译文

外文文献

On improper integrals and differential equations

in ordered Banach spaces

Abstract

In this paper we study the existence of improper integrals of vector-valued mappings. The so obtained results combined with fixed point results in partially ordered functions spaces are then applied to derive existence and comparison results for least and greatest solutions of initial- and boundary-value problems in ordered

Banach

spaces.

The

considered

problems

can

be

singular,functional,nonlocal, implicit and discontinuous. Concrete examples are also solved.

1. Introduction

In this paper we shall first study the existence of improper integrals of a mapping h from an open real interval a,b,a˂b,, to an ordered Banach space E. We show, for instance, that if the order cone of E is regular, an improper integral of h exists if his strongly measurable and a.e. Point wise bounded from above and from below by strongly measurable and locally Bochner integrable mappings from a,b into E possessing the improper integrals in question.

The so obtained results and fixed point results for mappings in partially ordered function spaces are then applied to derive existence and comparison results for least and greatest solutions of first- and second-order initial value problems and second-order boundary value problems in an ordered Banach space E whose order cone is regular. The existence of local extremal solutions for corresponding problems is studied in [6] when E is a lattice-ordered Banach space. A novel feature in our study is that the right-hand sides of differential equations comprise locally integrable vector-valued functions possessing improper integrals.Similar problems containing improper integrals of real-valued functions are studied in [10].

The following special types are included in the considered problems:

– differential equations and initial/boundary conditions may be implicit;

– differential equations may be singular;

– both the differential equations and the initial or boundary conditions may depend functionally on the unknown function and/or on its derivatives;

– both the differential equations and the initial or boundary conditions may contain discontinuous nonlinearities;

– problems on infinite intervals;

– problems of random type.

When E is the sequence space c0 we obtain results for infinite systems of initial and boundary value problems, as shown in examples. Moreover, concrete finite systems are solved to illustrate the effects of improper integrals to solutions of such problems.

2. Preliminaries

Our first task in this section is to prove existence results for improper integrals of a

mapping

h:a,bE,ab,

where EE,., is an ordered Banach space whose order cone is regular. If h

is strongly (Lebesgue) measurable and locally

hL1loca,b,EBochner integrable, denote . For the sake of completeness we

shall define the improper integrals we are dealing with.

hL1loca,b,EcDefinition 2.1.Given integral

and ca,bwe say that an improper

hsdsacexists if

limxahsdxxexists in E. Similarly, we say that an improper exists in E.

integral.

bchsdsexists if

limxbhsdscxThe existence results proved in the next lemma for the above defined improper integrals are essential tools in our study of differential equations in ordered Banach spaces.

Lemma 2.1. Let h assume

a,bEbe strongly measurable,

hL1loca,b,E,and

that hshshsfor a.e.sa,b.Then the following results hold. (a) h is locally Bochner integrable, i.e.hLloca,b,E

1(b) Ifachsdshsds exists for some ca,b,thenaexists for all ta,b.

t

b(c) Ifchsdshsdsexists for some ca,b thentexists for all ta,b

bProof. (a) Since the order cone of E is regular and hence also normal, the norm of E is

Semi monotone, i.e. there exists such a positive constant M that

0xy in E implies xMy.

The assumption: hshshs for a.e.ta,bcan be rewritten as

0hshshshs

for a.e.sa,b

In view of this result and the semi monotonicity of the norm of E we obtain

hshsMhshs

for a.e .sa,b

Whence

hsM1hsMhs

for a.e.sa,b

This result, strong measurability of hand the assumption thatimply that

hL1loca,b,E.hL1loca,b,E

(b) Assume that

cahsds exists for some ca,b.Since hhh,it follows

from [8, Corollary 1.4.6] that

hsdshsdshsds

cccwhenever ac.

Conclusions

In this article, which can be confirmed that the algorithm is feasible.

译文：

反常积分和微分方程在命令巴拿赫空间中

文摘

在本文中,我们研究的存在不当积分量值的映射。所以获得的结果结合定点结果在半序函数空间然后获得存在和比较结果申请最初的最小和最大的解决方案——在命令巴拿赫空间和边值问题。问题可以考虑单一,功能,外地,隐式和不连续。具体的例子也解决了。

1.介绍

在本文中,我们将首先研究映射的反常积分的存在,h从开放的真正的间隔a,b,a˂

b,有序巴拿赫空间E .我们节目,例如,如果订单锥E是常规,如果存在强烈的反常积分测

量和乙醯明智的有界从a,b上面和下面的强烈可衡量的和本地博赫纳可积的映射到E具有反常积分的问题。

所以获得的结果和定点结果映射在半序空间函数就会应用获得存在和比较结果的最小和最大的解决方案一线和二阶初始值问题和二阶边值问题在一个有序的巴拿赫空间E锥是规则。相对应的局部极值解的存在性问题研究[6]当E是格序巴拿赫空间。新颖的功能在我们的研究中,右边的微分方程组成局部可积的向量值函数拥有不当积分。类似的问题包含不正确的实值函数的积分进行了研究[10]。

以下特殊类型包括在考虑的问题:

-微分方程和初始/边界条件可能是隐性的;

——微分方程可能是单数;

——微分方程和初始边界条件可能功能取决于未知函数和/或其衍生品;

——微分方程和初始或可能含有不连续边界条件非线性;

——无限区间上的问题;

——随机的问题类型。

当E是我们获得结果的序列空间c0无限系统的初始边值问题,如例子所示。此外,混凝土有限系统解决了反常积分的影响来说明这些问题的解决方案。

2.预赛

我们在这一节的第一项任务是证明存在的反常积分的结果映射

h:a,bE,ab,

在EE,.,是一个有序的巴拿赫空间秩序锥是常规。如果h强烈勒贝格可测和本地

博赫纳可积的,表示

hL1loca,b,E为了完整性我们定义积分我们正在处理不当。

hsds定义2.1.鉴于hLa,b,E，并且ca,b，我们说一个反常积分a如果存在

1locclimxahsdxxc存在于e .同样,我们说一个反常积分cbhsds如果存在

limxbhsdscx存在于e.

存在结果在接下来的引理证明上述定义不恰当微分方程的积分是我们研究的重要工具在命令巴拿赫空间中。

引理2.1。让ha,bE强可测,hLloca,b,E,并承担那hshshs并且a.e

1sa,b.，然后下面的结果。

hL1loca,b,E h（a） 是本地博赫纳可积的,i.e

（b） 如果cahsdshsdsca,ba存在一些且所有的存在ta,b

t

b（c） 如果chsds存在一些ca,b且tbhsds所有的存在ta,b

证明 (一)顺序锥以来E是正常的,因此也正常,E是常态办单调即存在这样一个积极常数M

0xy在E意味着xMy.

假设：

hshshs 且a.e ta,b

可以重写为

0hshshshs

且a.e.sa,b

针对这个结果和半E的常态,我们获得的单调性：

hshsMhshs

且a.e sa,b

那么

hsM1hsMhs

且a.e sa,b

hL1loca,b,EhL1loca,b,E.这一结果,强大的可测性和假设暗示

(b)假设cahsds存在一些ca,b，从hhh它遵循从[8,推论1.4.6]

chsdshsdshsdscc

无论何时ac

结论

在这篇文章中,可以证实,该算法是可行的。

附 录B 主要参考文献的题录及摘要

[1]

【篇 名】计算含参量反常积分的一些特殊方法

【摘 要】计算含参量的反常积分时,常用的是两种方法:1)利用积分号下求积分的方法计算反常积分;2)利用积分号下求导方法计算反常积分.本文介绍另外几种求反常积分的方法.

[2]

【篇 名】含参量X的无界反常积分

【摘 要】现行教材中对于含参量x的无界反常积分,仅仅给出了定义,对此进一步探究,给出了其一致收敛的判别法。

[3]

【篇 名】含参量反常积分性质探析

【摘 要】用一致收敛的概念直接证明含参量反常积分的分析性质,大大简化了含参量反常积分的分析性质的证明过程和证明难度,含参量反常积分的分析性质在特殊函数的分析性质的讨论和应用中有重要的意义。

[4]

【篇 名】含参量反常积分一致收敛性

【摘 要】通过对积分变量作变量变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联系,给出了借助含参量无穷限反常积分的一致收敛性判断含参量无界函数反常积分一致收敛性的一种方法,从而在一定程度上将二者统一,加深读者的理解与认识。

[5]

【篇 名】含参量反常积分的局部一致收敛与连续性

【摘 要】给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义,证明了局部一致收敛与含参量

反常积分连续的等价性,最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系。

[6]

【篇 名】欧拉公式在计算反常积分中的应用

【摘 要】被积函数为指数函数与三角函数的乘积或为指数函数、幂函数与三角函数的乘积的无穷限反常积分在《数学分析》与《积分变换》课程中常出现,当被积函数复杂时用通常的计算方法计算会很困难,甚至计算不出结果.运用欧拉公式将三角函数化为复指数函数,从而将被积函数为指数函数、幂函数与三角函数的乘积化为指数函数与幂函数乘积,使相应的无穷限反常积分的计算变得较为简单.本文通过实例说明该种计算方法的简便之处,并就适应的题型做了详细的总结,对大学数学教师教学和学生学习有很好的参考价值.

[7]

【篇 名】对反常积分性质的再讨论

【摘 要】我们知道,在黎曼意义下的积分,函数有界是函数可积的必要条件.那么在广义积分下,会是什么情形?本文通过具体实例,讨论了两者关系.

[8]

【篇 名】反常积分与无穷级数收敛性关系探析

【摘 要】反常积分与无穷级数是《数学分析》中的重要容,其收敛性在本质上有着密切的联系,这为我们提供了进行平行类比学习的理论依据,但也应该看到二者的差别,即无穷

limxfx0。为此,讨论了无穷积分t,a乙fxdx收敛则fxdxt,a积分乙收敛却未必有

limxfx0的若干充分条件。

[9]

【篇 名】关于反常积分习题课的教学

【摘 要】在反常积分习题课教学中,选取适当例题,诠释反常积分与定积分之间的差异.通过变更或补充被积函数所满足的条件,设计相应习题,并最终借助题解说明,在一定条件下,对收敛的反常积分,其被积函数在无穷远处必为无穷小.

[10]

【篇 名】反常积分敛散性的数列式判别法

【摘 要】本文将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来,利用数列的性质,更为简便直观地判别 反常积分的发散.

[11]

【篇 名】Scheduling concurrent production over a finite planning horizon:Polynesian solvable cases

【摘 要】Scope and purpose Efficient utilization of modern flexible manufacturing systems is heavily dependent on proper scheduling of products throughout the available facilities. Scheduling of a workstation which produces

concurrently a number of product types with controllable production rates in response to continuous, time-dependent demand is under consideration. Similar to the systems considered by many authors in recent years, a buffer with unlimited capacity is placed after the workstation for each product type. The objective is to minimize inventory storage, backlog and production costs over a finite planning horizon. Numerical approaches are commonly used to approximate the optimal solution for similar problems. The key contribution of this work is that the continuous-time scheduling.

[12]

【篇 名】Receding horizon iterative dynamic programming with discrete time mode ts

【摘 要】This contribution proposes a modified version of the Iterative Dynamic Programming (IDP) method. Two main differences to the original method are introduced. The new algorithm deals with discrete-time input–output models compared to continuous-time state–space models described by a set of ODE/DAE used in the original method. The main purpose of these modifications is to reduce computational load of the original method, estimate the process models more easily, and to enable its use on-line in receding horizon predictive control framework.

[13]

【篇 名】Lena Madmen est at .Optimization of superannuation layers based on candle soot

【摘 要】Potential simplifying assumptions are presented and tested for applying a heuristic model to schedule production of core area of older forest for the Chippewa National Forest in Minnesota, recognizing approximately 67,000 analysis units and 10 10-year planning periods. The model has strong ties to optimization modeling, utilizing dynamic programming to solve overlapping and linked subproblems. Emphasis of this research is on understanding tradeoffs between solution time and nearness to optimality when large landscapes are modeled. Results show that combinations of model-simplifying assumptions can help maintain an efficient balance between computation time and model optimality. Results are sensitive to values assumed for core area, suggesting that more spatial detail is recognized .