课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１５年８月 上旬刊 教学．信息 第二类Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程的逐次迫近解法 杨明明 （四川护理职业学院四川成都６１０１００） 【摘要】积分方程作为数学学科的一个分支，发展稍迟些，在十九世纪三四十年代，才零星露面。受到文【３１的启发，我用与讨 论第二类Ｆｒｅｈｏｌｍ型积分方程类似的方法，研究了第二类Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程的逐次迫近法。并且给出了求第二类Ｖｏｌｔｅｒｒａ积 分方程的解的幂级数的解法。 【关键词】Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程逐次迫近解Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型积分方程 【中图分类号】Ｏ１７５ 【文献标识码】Ａ 意大利数学家Ｖ．Ｖｏｌｔｅｒｒａ（１８６０－１９４０）在１８９６年研究了 Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程，作出了许多贡献。他研究的方程是： ｆＫ（ｘ，ｓ）￣ｐ（ｓ）ｄｓ＝ｆ（Ｘ） 和 ｆ ‘ｐ（ｘ）＝Ｊ Ｋ（Ｘ，ｓ）‘ｐ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｘ） 瑞典数学家Ｉ．Ｆｒｅｈｏｌｄ（１８６６—１９２７）在１９００年研究了更一 般的情况．即Ｆｒｅｈｏｌｍ型积分方程 ｆ ｂ ‘Ｐ（Ｘ）＝ｆ Ｋ（ｘ，ｓ）‘Ｐ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｘ） Ｆｒｅｄｈｏｌｒｎ型积分方程和ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程的区别在于 积分限，前者的积分上限为常数，后者的积分上限为变数 现在讨论Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型方程的一种形式，即方程的核Ｋ（ｘ，ｓ） 当Ｓ＞Ｘ是恒等于零，这时称它为Ｖｏｌｔｅｒｒａ型方程。因此Ｖｏｌｔｅｒｒａ 型第二类方程有以下形式： ‘Ｐ（Ｘ）一 Ｊ Ｋ（ｘ，ｓ）‘Ｐ（ｓ）ｄｓ＝ｆ¨Ｘ） （１—１） 其中‘Ｐ（ｘ）是未知函数， 是参数，自由项ｆ（．Ｘ）是ｆａ，ｂｌｄａ￣ 平方绝对可积函数，即有正常数Ｄ存在。使得 ｒ ｂ Ｉ ｌｆ（ｘ）ｌ。ｄｘ＝Ｄ 下面应用逐次迫近法解第二类ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程 为此 先将方程写成下面形式： ，ｘ ‘Ｐ（Ｘ）＝ｆ¨ｘ）＋入Ｊ Ｋ（ｘ，ｓ）‘ｐ（ｓ）ｄｓ （１—２） 然后将自由项ｆ（ｘ）作为零次近似解 ‘Ｐｏ（ｘ）＝ｆ（Ｘ） 将‘Ｐ０（ｘ）代入方程（１－２）的右端，并且把结果作为一次近似 解： ｆ ‘Ｐ１（Ｘ） ｆ（ｌｘ）＋ ｆ Ｋ（Ｘ，Ｓ）‘Ｐ０（ｓ）ｄｓ 再将这一近似解代入（２—２）的右端，得到 ，ｘ ‘Ｐｚ（ｘ）：ｆｌ（ｘ）＋ Ｉ Ｋ（Ｘ，ｓ）‘Ｐ （ｓ）ｄｓ 依次类推，一般地，若已得ｎ次近似解‘Ｐｎ（Ｘ），则将这一近 似解代入（１—２）的右端，而取所得结果为ｎ＋１次近似解‘Ｐ叶】（Ｘ）． 于是逐次迫近法由下面的递推关系来确定： ，ｘ （Ｐｎ＋１（ｘ）：ｆ（ｘ）＋ Ｊ Ｋ（ｘ，ｓ）‘Ｐ （ｓ）ｄｓ （１—３） 如果逐次迫近法所得到的一列近似解一致收敛于某极限． 则这个极限函数就是￣（１－１）的解。如果极限不存在，则逐 次迫近法失去意义 注意到递推公式（１－３），我们有 ｒ ｘ ‘Ｐ１（Ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ Ｉ Ｋ（Ｘ，ｓ）ｆ（ｓ）ｄｓ ｆ ｒ ｒ ｘ ｑｏ２（ｘ） ｆ（Ｘ）＋ ｌ Ｋ｜（Ｘ，ｓ）ｆ（ｓ）ｄｓ＋ｋ２ Ｉ Ｋ（Ｘ，ｔ）ｄｔ Ｉ Ｋ（ｔ，ｓ）ｆ（ｓ）ｄｓ 记 ｆ Ｋ２（ｘ，ｓ） 』Ｋ（ｘ，ｔ）Ｋ（ｔ，ｓ）ｄｔ 【文章编号】２０９５—３０８９（２０１５）０８—００９７—０１ 上式又可以写成 ｒ ｒ ‘Ｐ２（）（） ｆ（ｘ）＋ 』Ｋ（ｘ，０ｆ（ｓ）ｄｓ＋ｈ ｉ Ｋ２（ｘ，ｓ） ｄｓ 依次类推，可以得到近似解ｇｏ （ｘ）的一般表达式： １ 『一 （ｐ （Ｘ） ｆ（Ｘ）＋ ｆＫｍ（Ｘ，ｓ）ｆ（ｓ）ｄｓ （１—４） 其中Ｋ （ｘ，ｓ）由下面递推关系确定： Ｋ１ｘ，Ｓ）＝Ｋｘ，ｓ） ｆ Ｋ （ｘ，ｓ） ｆ Ｋ（ｘ，０Ｋ廿ｒ （ｃ，ｓ）ｄｔ 如果近似解（２—４）是收敛的，则它的极限给出了方程（２ １）的解，并表示为以下无穷级数的形式： ‘Ｐ（Ｘ）＝ ＋∑入ｍ ｆ ，ｓ） ｄｓ （卜５） 口１ １ 其中前ｎ项和就是‘Ｐ 我们也可以按下面的步骤求第二类Ｖｏｉｔｅｍ积分方程的 解。 设方程（１—１）的解存在且可展开为关于 的幂级数： ‘Ｐ（Ｘ） ｏ（Ｘ）＋ ｌ（）【） ＋ ｚ（Ｘ） ＋・・・＋ ｌ（Ｘ） ＋… ｌｌ， （ｘ） （１—６） ｍ ０ 把（２—６）代入方程（１－１），两端）Ｌ的同次幂的系数该相等． 得到 （Ｘ）：ｆ（Ｘ） ，Ｘ ，（Ｘ）：Ｉ Ｋ（ｘ，Ｓ） ｏ（ｓ）ｄｓ ，Ｘ ｚ（Ｘ）＝ｆ Ｋ（ｘ，ｓ）ｌｌＪｔ（ｓ）ｄｓ ，ｘ ０ｍ（Ｘ） Ｊ Ｋ（ｘ，ｓ）ｌｌ，一（Ｓ）ｄｓ （１—７） 于是，式（１—６），（１—７）给出了方程（２—１）的解。 当求得 （ｘ）， （Ｘ）， 。（Ｘ），…， （Ｘ），…代入级数（１—６），该级数 对任意 绝对收敛和一致收敛，于是积分方程（１—１）对任意 存在唯一解，且由式（１—６）给出。如前所述，而我们在对第二 类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型积分方程运用逐次迫近法时候入并非任意而 是必须满足一定条件时近似解才收敛 参考文献： 【１］张石生，积分方程［ＭＪ．重庆：重庆出版社，１９８８． ［２】赵桢，奇异积分方程【Ｍ］．北京：北京师范大学出版社， １９８４． 【３］陈传璋，侯宗义，李明忠，积分方程论及其应用ＩＭ１．上 海：上海科学技术出版社．１９８５． ［４］Ｈ・Ｎ・穆斯海里什维里，朱季讷译，奇异积分方程ｆＭＪ． 上海：上海科学技术出版社。１９６６． ［５］ＧｒｅｅｎＣＤ．ＩｎｔｅｇｒａｌＥｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｂａｒｎｅｓ， Ｎｏｂｌｅ，１９８ ４． ・９７・
