2020-2021学年北京市大兴区八年级(上)期末数学试卷 (含解析)

一、选择题（共8小题）.

1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．a5÷a7＝a2 3．如果把分式A．不变

B．a﹣2＝﹣2a D．（2a）0＝1（a≠0）

中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ）

B．扩大2倍

C．缩小2倍

D．扩大4倍

4．下列各分式中，最简分式是（ ） A．

B．

C． D．

5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ） A．55°

B．70°

C．40°或70°

D．55°或70°

6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）

A．45° B．62° C．73° D．135°

7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣m

B．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b） C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2 D．2x+1＝x（2+）

8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，

且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．

二、填空题（共8小题）. 9．若分式

的值为0，则x＝ ．

10．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于 ． 11．计算：

＝ ．

12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．

13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是 ．

15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．

16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中， ①AD＝CD； ②BD⊥AC； ③AC＝6；

④△ACD是等边三角形． 所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）

17．（1）分解因式：am2+4am+4a；

（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）． 18．计算：

﹣

．

19．已知：如图1，∠AOB．

求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB

作法：

①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'； ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接C'D'． 由作法可知 OC＝O'C'， ， ，

∴△COD≌△C'O'D'．（ ）（填推理依据）． ∴∠A'O'B'＝∠AOB．

∴∠A'O'B'就是所求作的角． 20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式

的值．

21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？

22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．

23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．

（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）； （2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？ （3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？

24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ． （1）求∠ADQ的度数；

（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．

25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，

x°）．

例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．

（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝ ；∠xON＝ °；

（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明．

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B．

2．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 C．a5÷a7＝a2

B．a﹣2＝﹣2a D．（2a）0＝1（a≠0）

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义，同底数幂的除法法则以及任何非零数的零次幂等于1逐一判断即可． 解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意； B、a﹣2＝C、a5÷a7＝

，故本选项不合题意； ，故本选项不合题意；

D、（2a）0＝1（a≠0），故本选项符合题意． 故选：D． 3．如果把分式A．不变

中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ）

B．扩大2倍

C．缩小2倍

D．扩大4倍

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 解：＝

＝，

故选：A．

4．下列各分式中，最简分式是（ ） A．

B．

C． D．

【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可． 解：A.

＝

，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；

B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；

C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意； D.故选：C．

5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ） A．55°

B．70°

C．40°或70°

D．55°或70°

＝

＝

，不是最简分式，故本选项不符合题意；

【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°； 故选：D．

6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）

A．45° B．62° C．73° D．135°

【分析】根据全等三角形的性质得出即可． 解：∵两个三角形全等，

∴边长为a的对角是对应角， ∴∠1＝73°， 故选：C．

7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣m

B．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b） C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2 D．2x+1＝x（2+）

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．

解：A．从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B．

8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．

【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．

解：过P作PE⊥OB于E，

∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，

∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP， ∵OD＝DP， ∴∠BOP＝∠DPO， ∴∠AOP＝∠DPO， ∴PD∥OA， ∴∠PDE＝∠AOB， ∵∠AOB＝30°， ∴∠PDE＝30°， ∵∠PEO＝90°，DP＝2， ∴PE＝DP＝1， ∴PC＝1， 故选：C．

二、填空题（共24分，每小题3分） 9．若分式

的值为0，则x＝ ﹣2 ．

【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可． 解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0， 解得x＝±2，且x≠2， ∴x＝﹣2， 故答案为：﹣2

10．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于 6或0 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式， ∴m﹣3＝±3， 解得：m＝6或0． 故答案为：6或0． 11．计算：

＝ 8b ．

【分析】根据分式的除法法则即可求出答案． 解：原式＝

•

＝8b， 故答案为：8b．

12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ． 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720÷180+2＝6，

∴这个多边形的边数为6． 故答案为：6．

13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是 3cm＜x＜11cm ．

【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边即可求第三边长的范围．

解：根据三角形的三边关系得： 7﹣4＜x＜7+4． 即3＜x＜11，

故答案为：3cm＜x＜11cm．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是 35° ．

【分析】根据“∠ACB＝90°和∠ACD＝55°”先求出∠BCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠B． 解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝55°， ∴∠BCE＝180°﹣90°﹣55°＝35°， ∵DE∥AB，

∴∠B＝∠BCE＝35°． 故答案为：35°．

15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ﹣3 ．

【分析】先去分母得到整式方程，解整式方程得x＝m+5，利用分式方程无解得到x＝2，所以m+5＝2，然后解关于m的方程即可． 解：去分母得m+3＝x﹣2， 解得x＝m+5， ∵原方程无解，

∴x＝2，即m+5＝2，解得m＝﹣3， 即当m＝﹣3时，关于x的分式方程故答案为﹣3．

16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中， ①AD＝CD； ②BD⊥AC； ③AC＝6；

④△ACD是等边三角形．

所有正确结论的序号是 ①②④ ．

﹣

＝1无解．

【分析】根据已知条件得到AD＝CD，BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质可求BC，根据等边三角形的判定得到△ACD是等边三角形，于是得到结论．

解：①由作图可得AD＝CD， 故①正确；

②∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO，

故②正确；

③∵BD⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝BC＝3， ∴BC＝3×故③错误； ④∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， 故④正确．

故答案为：①②④．

三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）

17．（1）分解因式：am2+4am+4a；

（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）．

【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用整式的乘法运算法则及平方差公式计算得出答案． 解：（1）am2+4am+4a ＝a（m2+4m+4） ＝a（m+2）2；

（2）x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y） ＝x2﹣2x+x2﹣4y2 ＝2x2﹣2x﹣4y2． 18．计算：

﹣

．

×2＝3

，

【分析】直接通分，再利用分式的加减运算法则计算得出答案． 解：原式＝＝＝

．

﹣

19．已知：如图1，∠AOB．

求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB

作法：

①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'； ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明 证明：连接C'D'． 由作法可知 OC＝O'C'， OD＝OD′ ， CD﹣CD′ ，

∴△COD≌△C'O'D'．（ SSS ）（填推理依据）． ∴∠A'O'B'＝∠AOB． ∴∠A'O'B'就是所求作的角．

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据作图过程可得OC＝O'C'，OD＝OD′，CD＝CD′，进而可以完成证明． 【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接C'D'． 由作法可知： OC＝O'C'， OD＝OD′，

CD＝CD′，

∴△COD≌△C'O'D'．（SSS）（填推理依据）． ∴∠A'O'B'＝∠AOB． ∴∠A'O'B'就是所求作的角．

故答案为：OD＝O'D'，CD＝C'D'，SSS． 20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式

【分析】由已知等式得出x2+3x＝9，将其代入到＝

＝

＝

可得答案．

的值．

＝

解：∵x2+3x﹣9＝0， ∴x2+3x＝9， 则＝＝＝＝＝1．

21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？

【分析】设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G手机，由题意列出分式方程，解方程即可．

解：设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G手机，

由题意列方程，得：解得：x＝10，

经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，

，

•

﹣

答：更新技术前每月生产10万部5G手机．

22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．

【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵AD∥BE， ∴∠DAC＝∠CBE， 在△ACD和△BEC中，

∴△ACD≌△BEC（ASA）， ∴DC＝CE，

∴△DCE是等腰三角形． ∵CF平分∠DCE， ∴DF＝FE．

23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．

（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）； （2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？ （3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？

【分析】（1）根据每天获得利润＝（每千克售价﹣每千克进价）×每天的销售量列式即可；

（2）设每天可获得的利润为w，将（1）中的利润表达式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；

（3）令每天获得的利润等于200元，解方程，结合30＜x＜50，可得答案． 解：（1）（x﹣20）（﹣x+50）＝﹣x2+70x﹣1000， ∴每天获得的利润为（﹣x2+70x﹣1000）元； （2）设每天可获得的利润为w，由题意得： w＝﹣x2+70x﹣1000 ＝﹣（x2﹣70x）﹣1000

＝﹣（x2﹣70x+352﹣352）﹣1000 ＝﹣（x﹣35）2+225，

∴当x＝35时，w有最大值225．

∴当每千克售价为35元时，每天可获得最大利润； （3）由题意得：﹣（x﹣35）2+225＝200， ∴（x﹣35）2＝25，

∵平方等于25的数是5或﹣5， ∴x﹣35＝5，或x﹣35＝﹣5， ∴x＝40或x＝30， ∵30＜x＜50， ∴x＝40．

∴若每天获得利润200元，那么每千克售价应定为40元．

24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ． （1）求∠ADQ的度数；

（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AD，进而利用SAS证明△PAC≌△QAD，进而解答即可；

（2）根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可． 解：（1）∵∠PAQ＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD．∠CAD＝60°＝∠PAQ， ∴∠PAC＝∠QAD， 在△PAC和△QAD中，

，

∴△PAC≌△QAD（SAS）， ∴∠ADQ＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADQ＝90°；

（2）线段CQ与AD的数量关系是：位置关系是：CQ∥AD，

∵∠ADQ＝90°，∠CQD＝90°， ∴∠CQD+∠ADQ＝180°， ∴AD∥CQ，

∵△ACD是等边三角形， ∴CD＝AD， ∴∠ADC＝60°， ∴∠QDC＝30°， ∴∴

， ．

，

25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．

例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．

（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝ 6 ；∠xON＝ 35 °；

（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；

（2）过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据题意OB＝2OA，则OA＝AB，通过证得△AOF≌△ABC，得到OF＝BC，即可证得OE＝OF，进而即可证得∠OEA＝∠ACB．

解：（1）根据点N在平面内的位置记为N（6，35°）可知，ON＝6，∠xON＝35°． 故答案为：6；35；

（2）用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系是：∠OEA＝∠ACB． 证明：过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F． ∴∠ACB＝∠F．

∵点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°）， ∴OB＝2OA， ∴OA＝AB，

在△AOF和△ABC中，

∴△AOF≌△ABC（AAS）， ∴OF＝BC，

∵OE＝BC． ∴OE＝OF． ∴∠F＝∠OEA． 又∵∠ACB＝∠F， ∴∠OEA＝∠ACB．