自动控制原理精品课程第三章习题解(1)

s42s3Ts210s1000

试按稳定要求确定T的取值范围。

解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下：

s4s3 s212T5(10T250)/(T5)100T10100100

s1s0欲使系统稳定，须有

T50T25 10T2500 故当T>25时,系统是稳定的。

3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为,

1(t),t和t2 时，系统的稳态误差essp(),essv()和essa().

(1)D(s)10(0.1s1)(0.5s1)(2)D(s)7(s1)8(0.5s1)(3)D(s)s(s4)(s22s2)s2(0.1s1)

解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： D(s)(0.1sz1)(0.5s1)100.05s0.6s110

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。由G(s)

可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在1(t),t和t2输入信号作用下的稳态误差分别为： essp()11,essv(),essa() 1K11(2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为：

D(s)s46s310s215s70

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且

2a1a2a0a3450,以及2a12a4/a316.8，因此系统是稳定的。 D(s)7(s1)(7/8)(s1)

s(s4)(s22s2)s(0.25s+4)(0.5s2s1)由G(s)可知，系统式I型系统，且K=7/8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳态误差分别为：

essp()0,essv()1/K,essa() (3)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为： D(s)0.1s3s24s80

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且2a1a2a0a33.20因此系统是稳定的。

由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳态误差分别为：

20.25 K3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为

essp()0,essv()0,essa() G(s)100

s(0.1s1) 试求当输入信号r(t)12tt2时，系统的稳态误差.

解：由于系统为单位负反馈系统，根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为： D(s)0.1s2s1000

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。 由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳

1,，故根据线性叠加原理有：系统的稳态误差为： K1 ess()0

K3-4 设舰船消摆系统如图3-1所示，其中n(t)为海涛力矩产生，且所有参数

态误差分别为0,中除K1外均为已知正值。如果n(t)10o×1(t)，试求确保稳态误差值

o的K1的值（e(t)在输入端定义）。 essn()0.1

长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

消摆鳍i0N（s）舰船2n2s22nsn希望摇摆角K10实际摇摆角K2 图3-1 舰船消除摆系统

解：根据图可知系统的特征方程为：

2 D(s)(1/n)s2(2/wn)s1K1K20

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由图可知舰船消摆系统为一负反馈系统，且在扰动N(s)作用下，其前向通道传递函数为

2n G(S) 2s2sn反馈通道传递函数为H(s)K1K2 则0(s)G(s)1N(s)N(s) 21G(s)H(s)(1/n)s2(2/wn)s1K1K2由于e(t)在输入端定义，可得 En(s)0K20(s)K2N(s) 22(1/n)s(2/wn)s1K1K2 用终值定理来求解系统的稳态误差，有

essn()limss0K2K21010K2N(s)lims0.1

s0(1/n2)s2(2/wn)s1K1K2(1/n2)s2(2/wn)s1K1K2s1K1K2故确保稳态误差值essn()0.1o的K11001/K2。 3-5 已知单位负反馈的开环传递函数如下： G(s)K

s(0.1s1)(0.5s1) 试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka，并确定输入r(t)=2t时系统的稳态误差ess()。 解：根据静态误差系数的定义式可得

Ks0s0s(0.1s1)(0.5s1)K KvlimsG(s)H(s)limsK

s0s0s(0.1s1)(0.5s1)KKalims2G(s)H(s)lims20s0s0s(0.1s1)(0.5s1)KplimG(s)H(s)lim由系统开环函数可知系统为Ⅰ型系统，故在输入r(t)=2t时，系统的稳态误

差 ess()R/Kv2/K

3-6 设前馈控制系统如图3-2所示，误差定义为e(t)=r(t)-c(t)。试选择前馈参数和b的值，使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统

R(s)sbK1(T1s1)(T21)C(s)

图3-2前馈控制系统

解：由图可知前馈控制系统的闭环系统传递函数为： (s)K1(sb)

(T1S1)(T2s1)K1根据误差定义：e(t)=r(t)-c(t)，可得：

E(s)R(s)C(s)R(s)[1(s)]

T1T2s2(T1T2K1)s1K1(1b)R(s)(T1s1)(T2s1)K1 欲使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统，须有：

R(s)1/s2时，ess()0;R(s)1/s3时，ess()0即

T1T2K10;1K1K1b0;TT0， 1则当选择前馈参数(T1T2)/K1,b11/K1时，系统对输入r(t)成为Ⅱ型系统。

3-7 设控制系统如图3-3所示，其中K1,K2为正常；为非负常数。试分析：（1）

值对系统稳定性的影响；（2）值对系统阶跃响应动态性能的影响；（3）值

长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

对系统斜坡响应稳态误差的影响。

e(t)r(t)K1K2s1sc(t)5

图3-3 控制系统

解：根据图可得系统的开环传递函数为 G(s)K1K2

s(sK2)（1）值对系统稳定性的影响

通过系统开环传递函数，可得系统的特征方程为 D(s)sK2sK1K20

由赫尔维茨判据可知，n=2,若要求系统是稳定的，须有各项系数为正，因此当0时，系统稳定。

（2）值对系统动态性能的影响。 系统的开环传递函数为

2nK1K2G(s)s(sK2)s(s2n)

则nK1K20.5K2/K1因此，值通过影响阻尼比来影响系统的动态性能。值越小，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。

（3）值对系统斜坡响应稳态误差的影响

根据系统的开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，且静态速度误差系数为KvK1/，则该系统对单位斜坡响应的稳态误差为

ess()1/Kv/K1

因此，值越大，系统在斜坡响应作用下的稳态误差将越大。 3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数：

（1）G(s)10

s(s4)(5s1) （2）G(s)10(10s1)

s2(s4)(5s1)试求输入信号分别为r(t)=t和r(t)24t3t2时，系统的稳态误差ess()。 解 （1）由于系统为单位负反馈，根据开环传递函数，可以求得闭环系统的特征方程：

D(s)5s321s24s100

由赫尔维茨判据可知，n=3且各项系数为正，且a1a2a0a3340因

此系统是稳定的。

由 G(s)102.5

s(s4)(5s1)s(0.25s1)(5s1)可知，系统是Ⅰ型系统，且K=2.5。由于Ⅰ型系统在1(t),t和t2 信号作用下的稳态误差分别为0,1,，故根据线性叠加原理有： K10.4 K 当系统输入为r(t)=t时，系统的稳态误差为 ess1() 当系统输入为r(t)24t3t2时，系统的稳态误差为ess2() （2）由于系统为单位负反馈系统，根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为：

D(s)5s421s34s2100s100 由赫尔维茨判据可知，n=3且各项系数为正，且

2a1a2a0a34160因此系统不稳定，ess()不存在。

3-9设电子心律起搏器系统如图3-4所示，其中模仿心脏传递函数相当于一纯积分器。

（1） 若0.5对应最佳响应，问起搏器增益K应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min,。突然接通起搏器，问1s后实际心速多

少？瞬时最大是心速多大？

长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

电子起搏器R(s)希望心速心脏1sK0.05s1C(s)实际心速

图3-4 电子心律起搏器系统

解：（1）由图可得系统开环传递函数为

2nK20K G(s) s(s0.5)s(s20)s(s2n) 经比较可得，若0.5对应最佳响应，则应取起搏器K=20。 （2）满足0.5的系统的闭环传递函数为

400

s220s400 即系统的自然频率和阻尼比分别为

(s) n200 .则该系统的单位阶跃响应表达式为：

21h(t)1entsin(n1tarccos)12

11.155e10tsin(17.32t60o)若期望心速为60次/min,突然接通起搏器，设1s后实际心速为h(1),则

h(1)60[11.155e10tsin(17.32t60o)60.0015次/min 由于01，故系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标为 超调量：%e/峰值时间：tp12100%16.3% 0.18s

12 设瞬时最大心速为hmax且发生在tp0.18s时，则

故若期望心速为60次/min,突然接通起搏器，则1s后实际心速为60.0015次

/min,瞬时最大心速发生在0.18s,为69.78次/min。

3-10 已知二阶系统的单位阶跃响应为

h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1o)

试求系统的闭环传递函数，超调量%、峰值时间tp和调节时间ts 解： 本题二阶系统单位阶跃响应为

h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1o)10[11.25e1.2tsin(1.6t53.1o)]

由上式可知，该系统的放大系数为10，然而放大系数是不会影响系统的动态性能的。

标准的二阶系统的单位为阶跃响应 h(t)1 于是有

112entsin(n12t)

n1.2解得：0.61121.25n121.6arccos53.1o

n2

40

s22.4s4故系统的闭环传递函数为

(s) 由于01，故系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标为： 超调量：%e/峰值时间：tp12100%9.5% 1.96s

13.52 调节时间：tsn 2.92s（=5%）3-11 设单位负反馈系统的开环传递函数

2s1 G(s)2

s 试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。 解：根据题意可得系统的闭环传递函数为 (s)G(s)2s12

1G(s)s2s1当输入为单位脉冲时，即R(s)=1,此时

长沙理工大学自控控制原理精品课程 第三章习题解答

K(s)(s)R(s)G(s)2s12(s0.5) 221G(s)s2s1(s1)由于 l1[sa0][(a0a)t1]eat 2(sa)所以系统的单位脉冲响应 k(t)l1[2(s0.5)t ](2t)e2(s1)1当输入为阶跃信号，即R(s)时，有

sC(s)(s)R(s)2(s0.5) 2s(s1)因此系统的单位阶跃响应为

k(t)l1[2(s0.5)]1(t1)et 2s(s1)3-12 某控制系统如图3-5所示，如果 G1(s)10(s10)s10,G2(s)10,H(s)s s21试求n(t)=1(t)时，系统的稳态误差ess()

N（s）R(s)G1(S)G2(S)C(s)H(s) 图3-5 控制系统

解 当仅有扰动n(t)=1(t),即N(s)1作用时，系统的误差函数为 sE(s)R(s)H(s)C(s)H(s)C(s)

 G2(s)H(s)10s(s10)1N(s)201G1(s)G2(s)H(s)(s1)(s10)1010s(s10)s利用终值定理来求解稳态误差

ess()limsE(s)limss0s010s(s10)10。 2s(s1)(s10)1010s(s10)3-13 试求如图3-6所示系统r(t)=1(t)和扰动n(t)0.21(t)同时作用下的

稳态误差。

n(t)r(t)e(t)20s50.110sc(t)

图3-6 控制系统

解：根据图可得系统的开环传递函数为 G(s)200，则该系统为Ⅰ型系

s(s2)统，且kv100。故在输入r(t)=1(t)作用下，系统稳态误差为essv()0。当考虑扰动n(t)0.21(t)作用，即N(s)En(s)C(s)0.2时，系统问题误差为 sG(s)N(s)1G(s)

2002N(s)s2s200利用终值定理来求解稳态误差，有 essn()limsEn(s)limss0s02000.20.2

s22s200s故系统在输入r(t)=1(t)和扰动n(t)0.21(t)同时作用下的稳态误差：

ess()essressn0.2