高数单元测试答案

一、解答下列各题(本大题共6小题，总计48分) 1、计算

òGxdx+ydy+(x+y-1)dz，其中G是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段。

[解] 教材P200.习题11-2 A类 2.（2）

2、设∑是锥面上被平面z=3所截下的有限部分曲面。试计算

[解]

蝌(x2+y2)ds=蝌(x2+y2)1+z2x+zy2dxdy=蝌(x2+y2)?2dxdyDxy:x2åDxyDxy=蝌(x2+y2)?2dxdy2蝌r2?rdrdq9pDxyD

rqdydz+z2dxdy3、计算蝌Òx2为曲面x2+y2=R2与两平面z=Råx2+y2+z2，其中å，

z=-R(R>0)所围立体表面的外侧．

[解] 教材P228.习题11-5 A类 1.（9）

4、设数量场u=lnx2+y2+z2，求向量场grad(u)的散度div(gradu).

禳镲抖[解] div(gradu)=div镲睚uu抖u2u抖2u2u镲镲铪抖x,y,?z=抖x2+y2+?z2 ¶u¶2u(x2+y2+z2)-x?2xy2+z2-x2¶x=xx2+y2+z2，?x2=(x2y2+z2)2=(x2+y2+z2)2 由此，不难得到

¶2ux2+z2-y2x2+y2-z2?y2=(x2y2+z2)2，¶2u?z2=(x2y2+z2)2 22故

div(gradu)=抖uu1抖x2+y2+?2u?z2=(x2y2+z2)

¥5、讨论级数åa2n1+a(a>0)的收敛性. n=12n[解] 06、设f(x)=ìïï-1-p求S(3p)的值1 / 5

y2?3

[解]由条件，p是区间[-p,p]端点，由收敛定理知，傅里叶级数在x=p处收敛于

111-p[f(-p+0)+f(p-0)]=[-1+2-p]=222

即S(p)=1-p1-pS(3p)=S(p)=

2，故2。

二、( 本大题10分 ) 求I=线y=òL(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy，其中a,b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲

2ax-x2到点O(0,0)的弧．

[解] 教材P211.习题11-3 B类 2.

三、( 本大题8分 )

设对R内任意分段光滑简单闭曲线C，有续导数且f(0)=0,，求

22xydxy+xdfy()=0,其中函数f(x)具有连ÑòCò(1,1)(0,0)xy2dx+yf(x)dy的值。

22[解1] 由条件，在单连通区域R内P(x,y)=xy,Q(x,y)=yf(x)有一阶连续偏导数且

曲线积分

2xyòdx+yf(x)dy与路径无关，从而有 L抖Q=抖xP y(x)=2xy，因此得 即yf¢f¢(x)=2x,f(x)=x2+C

2由f(0)=0,C=0，故f(x)=x。

蝌

(1,1)(0,0)xydx+yxdy=22210x?0dx?10y?1dy12

[解2] 在R内曲线积分

2xyòdx+yf(x)dy与路径无关，选取适当积分路径，有 L蝌(1,1)(0,0)xydx+yxdy=2210y譮(0)dy+?10x鬃1dx=1 2

四、( 本大题10分 )

2 / 5

332计算蝌2xdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy，其中å为曲面z=1-x2-y2(z?0)的上侧．

å[解1] 取1为xoy平面上被圆xy1所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则

3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy 22I12x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy.

1由高斯公式知

1332222xdydz2ydzdx3(z1)dxdy6(xyz)dxdydz 211r2 =60ddr00(zr2)rdz

=12[r(1r2)2r3(1r2)]dr2.

1012而

3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy1x2y213dxdy3，

故I23.

[解2] 用合一投影法，将此第二类曲面积分直接化为二重积分，注意到曲面

z=1-x2-y2(z?0)上侧，它在xoy平面上投影区域为：D:x2+y2?1，

¢=-2x又zx

，

¢=-2yzy，

合一投影公式：

3222I=+蝌2x3(-zⅱdxdy x)+2y(-zy)+3[(1-x-y)-1]Dxy=44442222[4x+4y+3(x+y-2x-2y+2xy]dxdy 蝌Dxy=8蝌x4dxdy+3蝌(x2+y2)2dxdy-6蝌(x2+y2)dxdy

DxyDxyDxy=8蝌r4譺cos4qdrdq+3蝌r4譺drdq-6蝌r2譺drdq

DrqDrqDrq=8蝌rdr0152p0cosqdq蝌+3蝌rdrDrq04152p0dq-6蝌rdr0132p0dq

=-p

五、( 本大题6分 )

3 / 5

计算I=Ñ(z-òGy)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中G为曲线x2+y2=1,x-y+z=2，若从z轴正向

看去，G取逆时针方向。

[解1] 由条件，记S为平面x-y+z=2上由G所围部分，按右手规则S取上侧，用斯托克斯公式

平面法向量en={13抖抖xz-y1,-311,}，有 33-13yI==蝌Sx-z13?1ds=?z3x-y蝌2ds=S13蝌2Dxy223dxdy，Dxy:x+y?1

=2p

[解2] 写出G的参数方程，用空间曲线积分的计算公式（略）。

六、( 本大题8分 ) 讨论级数

¥åsin(np+1lnnn=1)的收敛性（说明级数收敛还是发散。若收敛，需说明是条件收

敛还是绝对收敛? [解] sin(np+1lnn)=(-1)nsin¥1lnnsin1lnn:1lnn(n)，而limlnn=+?，故级数

1nn1å¥1lnnn=1发散，从而å1lnnsin1lnnn=1发散；

1lnn又limsinn=0，可证

1lnnsin(np+)=(-1)nsin1lnn=sin1lnn(n>2)单减，故

å¥sin(np+n=1)收敛，且为条件收敛。

七、( 本大题10分 )

，

dex-1¥n()x的幂级数并求其收敛区间；2）求级数å1）将dx展开成的和。 xn=1(n+1)!xx2xn+L++L(-?[解] 由 e=1++1!2!n!xx<+?)，

dex-1exex1()=-2+2dxxxxx

4 / 5

==1xx2xn1xx2xn1(1+++L++L)-2(1+++L++L)+2 x1!2!n!1!2!n!xx1232n+x+x+L+xn-1+L 2!3!4!（n+1）!nliman+1n+1=lim=0，收敛半径R=+?，收敛区间是(-?,?)。 nann(n+2)exex1f(x)=-+设xx2x2

exex1f(x)=-2+2=则xxxnå(n+1)!=f(1)=1 n=1

¥nn-1x(x?0)å（n+1）!n=1，

¥5 / 5