《直线的方程》教学设计

并能根据条件熟练地求出直线的方程． （2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程． （3）掌握直线方程各种形式之间的互化． （4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面.系统.周密地分析.讨论问题的能力． 培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力． （5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点． （6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法． 二.教材分析 1.知识结构 由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式． 2.重点.难点 　 ①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程． 　　解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用． 　　直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习． 　 ②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明． 3.教学内容 第1页，共5页

3.1认知理解 （1）点斜式：yy1k(xx1)它建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点P(x1,y1)的连线的斜率相等，故有kyy1,此式是不含点P(x1,y1)的两条反向射线的方程，xx1必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.

（2）斜截式：ykxb它可以看作点斜式的特殊情况，表示过(0,b)，斜率为k的直线

ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1，等号的一端

是x的一次式，而不一定是x的一次函数，如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程，斜截式方程形式上的最大特点是“斜率k，纵截距b让人一目了然”，便于以后判断函数单调性和易画直线图象. （3）两点式：

yy1xx1使用的条件是x1x2,y1y2，即平行于坐标轴的直线不适合. y2y1x2x1xy1它是过(a,0),(0,b)（ab0）两点的两点式，用截距式最便于作图，ab要注意截距是实数而不是长度，当直线的斜率不存在或为0时，直线不能用截距式表示.

（4）截距式：

（5）一般式：AxByC0（其中A.B不同时为0）它表示在平面直角坐标系中，任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.所有直线都适用.一般不用，主要是为了以后讨论两直线位置关系及线性规划作准备.若没有特殊的说明，答案结果要化为一般式. （6）参数式： （Ⅰ）已知直线l经过点P(x0,y0)，v(a,b)是它的一个方向向量，则直线l的参数方程为： xx0at(t为参数）yy0bt （Ⅱ）已知直线l的倾斜角为，则直线l的方向向量v(cos,sin)，则直线l的参数方程为：

xx0tcos (t为参数）yytsin03.2解题技巧 （1）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，如对于点斜式和斜截式要求直线的斜率存在，因此，如果选用它们时，应考虑斜率不存在的情况，对于两点式它不能表示平行或重合于坐标轴的直线外，还不能表示过原点的直线.那么，如何根据题设条件，灵活选用直线方程的形式来表示直线方程呢？另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截

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距式较为方便.

（2）待定系数法是求直线方程最基本.最常用的方法，但要注意选择形式，一般地，已知一点就待定斜率k，但应注意斜率k不存在时的情形，如果已知斜率k，一般选择斜截式，待定纵截距b.如果已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截距，一般来说，几个系数待定就应列出几个方程. 3.3知识拓展： （1）恒过定点问题：在点斜式方程yy1k(xx1)中，若点P(x0,y0)固定，而斜率k可变动，方程可表示除直线xx0（斜率k不存在）外的其它一切过P(x0,y0)点的直线，这些直线构成的集合我们称为共点直线系.由共点直线系知，对于含参数的直线方程，随着参数的变化，故直线所过的定点必是直线的交点，故将参数赋值，求出交点，将交点的坐标代入方程，这是一种解题思路，此外，既然直线所过的交点与参数的取值无关，故可考虑将方程以参数为标准进行整理整理，利用恒等式，求出定点，这又是一种思路. （2）平行直线束问题：在斜截式方程ykxb中，若k一定，而b可变动，方程表示斜率为k的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线束. 三.教法建议 　（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬． 　（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础． 　　直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面.系统.辩证.周密地分析.讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点.

　 （3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解． 　 （4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点.一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式.两点式和一般式三个教学高潮． 　　求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程． 　（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）． 　（6）本节中有不少与函数.不等式.三角函数有关的问题，是函数.不等式.三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力． 　 （7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力． （8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．建议新授课三课时，作业练习册试卷评讲三课时.共计六课时． 第3页，共5页

四.典型例题 例1：直线 l过点 P(1,3)，倾斜角的正弦是

4，求直线l的方程． 5　　分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 　　说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 例2：求经过两点 A(2,m)和B(n,3)的直线方程． 　　分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n与2的分类；如果选用两点式，还要涉及 m与3的分类．法一：利用直线的两点式方程　　法二：利用直线的点斜式方程．说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法． 　　 例3：把直线方程AxByC0(ABC0)化成斜截式_________，化成截距式__________． 　　说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式． 例4：过点P(3,0)作直线l，使它被两相交直线 2x被P点平分，求直线l的方程． 例5：一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度． 说明：直线方程在实际中应用非常广泛．常与均值不等式联用． 　　 例6：已知 3a2b5，其中 a、b是实常数，求证：直线 axby100必过一定点． 　　 分析：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为6a4b100，可知x6，yy20和 xy30所截得的线段AB恰好

4即为方程axby100的一组解，所以直线axby100过定点（6，4）．此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法． 例7：直线 l过点M(2,1)，且分别交x轴.y轴的正半轴于点A、B．点O是坐标原点，（1）求当△ABO面积最小时直线l的方程；（2）当

MAMB最小时，求直线l的方程． 第4页，共5页

说明：此题用截距式表示较为简单，与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．常用几何画板演示动态过程，较为形象直观．

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