三角函数的图像和性质(教学设计)

 课 题 三角函数的图像和性质 三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还 学情分析 不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用； 教学目标与 2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、 考点分析 求单调区间等问题中的应用． 教学重点 教学方法 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。 导入法、讲授法、归纳总结法 学习内容与过程 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 3,1)(0,0)，(,1)，(π，0)，2，(2π，0)． 2((2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 3(0,1)，(,0)，(π，－1)，(,0)，(2π，1)． 222．三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y＝sin x y＝cos x y＝tan x R R π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 π对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 2对称中心： 对称中心： (k,0)kZ (kπ，0)(k∈Z) 22π 2π 无对称轴 对称中心： (k,0)kZ 2周期 π 单调增区间 [2k单调性 [2k ,2k]kZ；[2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 22单调减区间 单调增区间 单调增区间 (k单调减区间 ,k)kZ 222,2k3[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) ]kZ 2奇偶性 两条性质 (1)周期性 奇 偶 奇 2ππ函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数ycos(x)，x∈R( )． 3A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 ytan(x)2．函数的定义域为( )． 4A．{x|xk4,kZ} B．{x|x2kD．{x|x2k4,kZ} ,kZ} C．{x|xk4,kZ} 43．ysin(x)的图象的一个对称中心是( )． 4A．(－π，0) C．(3,0) 2B．(3,0) 4D．(,0) 24．函数f(x)＝cos(2x)的最小正周期为________． 6考向一 三角函数的周期 【例1】►求下列函数的周期： ysin(x)ytan(3x) (1)；(2)326 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； ②形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【例2】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域． (2)求函数y＝cos2x＋sin x(|x|4)的最大值与最小值． tan(x)sinx4y【训练2】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域；(2)lg(2cosx1)  (3)已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(cosx)的定义域. 考向三 三角函数的单调性 求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间． 12(1)ycos(2x)，(2)ysin(x)，(3)ytan(3x). 32433 【训练3】 函数f(x)＝sin(2x3)的单调减区间为______． 考向四 三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y＝cos(2x)图象的对称轴方程可能是( )． 3ππππA．x＝－6 B．x＝－12 C．x＝6 D．x＝12 π(2)若0＜α＜2，g(x)sin(2x)是偶函数，则α的值为________． 4 【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)(||2π)的一条对称轴为x＝12，则φ＝________. (2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合． 5,k](k∈Z)，单调递【示例】► 已知函数f(x)＝sin(x)(ω＞0)的单调递增区间为[k31212减区间为[k12,k7](k∈Z)，则ω的值为________． 12课内练习与训练 1、已知函数f(x)sin(3x) 3 （1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性． 2、设函数f(x)sin(2x)(0)的图象的一条对称轴是直线x 8，则______． 学生对本次课的小结及评价 1、本次课你学到了什么知识 2、你对老师下次上课的建议 ⊙ 特别满意 ⊙ 满意 ⊙ 一般 ⊙ 差 学生签字： 课后练习：（具体见附件） 课后小结 教师签字：