勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析之勘阻及广创作

时间：二O二一年七月二十九日

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求a.

思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用.

解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=△ABC

中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

(2) 在

(3) 在△ABC

中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是几多?

【谜底】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在

中,,,思路点拨：由条件

于D,则有

. 求：BC的长.

,想到构造含角的直角三角形,为此作

,,再由勾股定理计算出AD、DC的

长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因,

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∴（的两个锐角互余）

,

∴（在中,如果一个锐角即是那么它所对的直角边即是斜边的一半）. 根据勾股定理,在中,

.

根据勾股定理,在

中,

.

∴.

举一反三【变式1】如图,已知：证：.

,,于P. 求

而在∴∴在

解析：连结BM,根据勾股定理,在

.

中,则根据勾股定理有 .

又∵

.

中,根据勾股定理有

, .

中,

（已知）,

∴

【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结

AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单. 解析：延长AD、BC交于E.

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∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE=

==. .

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°方向走了

达到B点,然后

再沿北偏西30°方向走了500m达到目的地C点. （1）求A、C两点之间的距离.

（2）确定目的地C在营地A的什么方向. 解析：（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m,AB=所以

∵BC=500m,AC=1000m

∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

由勾股定理可得：

（2）在Rt△ABC中,

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【谜底】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡

车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与空中交于H． 解：OC＝1米(年夜门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半） 在Rt△OCD中,由勾股定理得： CD＝

＝

＝０.６米,

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村落A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个极点,现计划在四个村落联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部份．请你帮手计算一下,哪种架设方案最省电

线．思路点拨：解

答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计

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算线路长,然后进行比力,得出结论．

解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为

AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3 图（3）中,在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为

图（4）中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH 由∠FBH＝EA＝ED＝FB＝FC＝中总线路的长为4EA+EF＝

及勾股定理得：

∴EF＝1－2FH＝1－

3＞2.828>2.732

∴此图

∴图（4）的连接线路最短,即图（4）的架设方案最省电线． 举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的正面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．

解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,

ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理） ∴ AC＝

＝

＝

≈１０．７７（cm）（勾股定

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理）．

答：最短路程约为１０．７７cm． 类型四：利用勾股定理作长为线段.

思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就即是.

,直角边为

和1的直角三角形斜边长就是

,类似地可作

的线段5、作长为

、

、

的

作法：如图所示

腰直角△ACB,使AB为斜边；

（1）作直角边为1（单元长）的等

（2）以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角；

（3）顺次这样做下去,最后做到直角三角形、、

、、

的长度就是 、

.

的点.

,

.斜边为

,这样斜边、

举一反三【变式】在数轴上暗示解析：可以把

看作是直角三角形的斜边,

为了有利于画图让其他两边的长为整数,

而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1.

作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

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以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.

类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系. 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备.

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状.思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题.

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.

∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.

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∴ a=3,b=4,c=5. ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2.

由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到.

举一反三【变式1】四边形ABCD

中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. 【谜底】：连结AC ∵∠B=90°,AB=3,BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC2+CD2=169,AD2=169

∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

【变式2】已知:△ABC的

三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可 证明：

△ABC是直角三角形.

所以

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【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB. 请问FE与DE是否垂直?请说明. 【谜底】答：DE⊥EF.

证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2. 连接DF（如图）

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2. ∴ DF2=EF2+DE2, ∴ FE⊥DE.

经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积. 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得： （3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96

总结升华：直角三角形边的有关计算中,经常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解.

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积. 【谜底】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D

则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1

在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3 ∴AD＝

S△ABC＝BC·AD＝

注：等边三角形面积公式：若等

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边三角形边长为a,则其面积为

a.

【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积.

【谜底】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得： 由（1）得：x+y＝7,

（x+y）2＝49,x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2),得：xy＝12

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n. 思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解.

解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝4 ∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和即是“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边.

【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是（ ） A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,

对数据较年夜的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断. 例如：对选择D,

∵82≠（40+39）×（40－39）,

∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形. 同理可以判断其它选项.【谜底】：A【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. 解：连结AC

∵∠B=90°,AB=3,BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC2+CD2=169,AD2=169

∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

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∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为几多秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校

A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,年夜于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度.（2）要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必需找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校.

解析：作AB⊥MN,垂足为B.

在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160, ∴ AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边即是斜边的一半）

∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响.

如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100(m),

由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60.

同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那

么,AD＝100(m),BD＝60(m), ∴CD＝120(m).

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,

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学校受影响的时间为24秒.

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理.举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）,却踩伤了花草.

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路.【谜底】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单元正三角形. （1）直接写出单元正三角形的高与面积. （2）图中的平行四边形ABCD含有几多个单元正三角形？平行四边形ABCD的面积是几多？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）.

【谜底】（1）单元正三角形的高为,面积

是.

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单元正三角形,因此其面积.

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示）,则在Rt△ACK中,

,

类型三：数学思

,故

想方法（一）转化的思想方法

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我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,经常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.

思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不

在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,无妨先连接AD． 解：连接AD．

因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．

因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中,根据勾股定理得：

,所以EF=13.

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解. （二）方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

,求、、的值.思路点拨：

由,再找出、的关系即可求出和的值. 解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°, 则因为

,由勾股定理,得

,所以

,

.

,,.

总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半.

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举一反三：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长.

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°, 在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm, 所以设

.所以

,则

.

,即

即EF的长为5cm.

,解得

.

.

在Rt△ECF中,

时间：二O二一年七月二十九日

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