勾股定理

一、知识梳理 1、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为那么

.

，

，

.

，斜边长为，

勾股定理的一些变式：

2、勾股数

222

满足a + b= c的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 常见勾股数有：

（3，4，5 ） (5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 ) (9，12，15 3、勾股定理的证明

图（1）中，所以.

图（2）中，所以

.

图（3）中，

所以

.

4、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为

的线段.

二、典型练习

1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A、25 B、14 C、7 D、7或25

2．若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2

=16，则c为（ ）

A．5 B．7 C．7或5 D．5

3．下组给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）．

A、3，4，6 B、15，8，17 C、21，16，18 D、9，12，17

4．在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（ ）

A.5 B.13 C.11 D.2

5．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在△ABC中，AB＝10，AC＝2

，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ ）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

) 7．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（ ）

A.182 B.183 C.184 D.185

8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）

A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定

9．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯底端距地面1m，云梯的最大伸长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）

A．16m B．13m C．14m D．15m

10．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）

A．

252525cm B．cm C．cm D．8cm 84211．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）

A．14 B．16 C．18 D．20

12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

第10题 第11题 第12题 13．如图，由四个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中最多可以作长为的线段（ ）

A．4条 B．6条 C．7条 D．8条

14．（2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

15、如图，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（ ）

A.S1＝S2 B.S1＜S2 C.S1＞S2 D.无法确定 A C

B

第15题 第13题 第14题

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC= ．

17．如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积 ．

18．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．

19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．

20. 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

B 第20题

A 第16题 第17题 第18题 第19题

21．（本题5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若AC=2，求AD的长．

22．（本题7分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED． （1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长．

23．（本题7分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 （参考数据：21.414,31.732,62.449 ）

24．（本题7分）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长

25．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了这样一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你帮助小明计算出旗杆的高度．

26．如图，在△ABC中，∠ABC=45º，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE。

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

222（2）求证：BGGEEA

27．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．求证：

（1）△ACE≌△BCD； （2）AD2DB2DE2．