要求求解 sin(ln(x)) 的不定积分。
首先，我们可以使用换元法来解决这个问题。设 u = ln(x)，那么 du/dx = 1/x，可以得到 dx = e^u du。将这个换元代入原式中，得到：
∫sin(ln(x)) dx = ∫sin(u) e^u du.
接下来，我们可以使用分部积分法来求解这个积分。设 u = sin(u) 和 dv = e^u du，那么 du = cos(u) du 和 v = e^u。将这些代入分部积分公式 ∫u dv = uv ∫v du，我们可以得到：
∫sin(u) e^u du = -cos(u) e^u ∫(-cos(u) e^u) du.
化简得到：
∫sin(u) e^u du = -cos(u) e^u + ∫cos(u) e^u du.
我们可以发现，右边的积分与原式相同，所以可以得到以下等
式：
∫sin(u) e^u du = -cos(u) e^u + ∫cos(u) e^u du.
2∫sin(u) e^u du = -cos(u) e^u.
将等式两边同时除以2，得到：
∫sin(u) e^u du = -1/2 cos(u) e^u + C.
其中 C 是积分常数。
最后一步，我们将 u = ln(x) 代回到等式中，得到最终的结果：
∫sin(ln(x)) dx = -1/2 cos(ln(x)) e^ln(x) + C.
= -1/2 cos(ln(x)) x + C.
因此，sin(ln(x)) 的不定积分为 -1/2 cos(ln(x)) x + C，其中 C 是积分常数。
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