桃江县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ） A．

2． 函数f（x）=

有且只有一个零点时，a的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

A．a≤0 B．0＜a＜ C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1

3． 已知双曲线的方程为A．

B．

C．

或﹣

=1，则双曲线的离心率为（ ） D．

或

4． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）

A．12+ B．12+23π C．12+24π D．12+π

5． 已知a为常数，则使得A．a＞0

B．a＜0

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e

D．a＜e

6． 在下面程序框图中，输入N44，则输出的S的值是（ ）

A．251 B．253 C．255 D．260

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【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 7． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直 8． 如图F1、F2是椭圆C1：

+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

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A． B． C． D．

9． 若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)2(y2)225交于A,B两点，则弦长|AB|的最小值为（ ）

A．85 B．45 C．25 D．5 10．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．已知f（x）=

，若函数f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）

A．（1，3） B．（1，2） C．[2，3） D．（1，2] 12．函数y=A．（，1）

的定义域为（ ）

B．（，∞）

C．（1，+∞）

D．（，1）∪（1，+∞）

二、填空题

13．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 14．不等式

的解集为 ．

15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．

16．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________． 17．已知直线5x+12y+m=0与圆x﹣2x+y=0相切，则m= ．

18．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

2

2

三、解答题

19．已知f（（1）求f（x）；

）=﹣x﹣1．

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（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C的离心率为

2，A、B分别为左、右顶点， F2为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的 2动点，且PAPB的最小值为-2. （1）求椭圆C的标准方程；

C于M、N两点，求F2MF2N的取值范围. （2）若过左焦点F1的直线交椭圆

21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数fxalnxf1处的切线方程； （1）当a2时，求函数fx在点1，（2）讨论函数fx的单调性；

11． x11a（3）当0a时，求证：对任意x，+，都有122x

xae．

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22．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．

23．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

24．如图所示，已知

+

=1（a＞＞0）点A（1，

）是离心率为

的椭圆C：上的一点，斜率为

的直

线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值； 的值；否则说明理由．

（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ

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桃江县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}， P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集， ∴根据题意，M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是故选：C．

2． 【答案】D

【解析】解：∵f（1）=lg1=0， ∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，

xx

故﹣2+a＞0或﹣2+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立， xx

即a＞2，或a＜2在（﹣∞，0]上恒成立，

=．

故a＞1或a≤0； 故选D．

【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．

3． 【答案】C

【解析】解：双曲线的方程为

﹣

=1，

222

焦点坐标在x轴时，a=m，b=2m，c=3m，

离心率e=．

222

焦点坐标在y轴时，a=﹣2m，b=﹣m，c=﹣3m，

离心率e=故选：C．

=．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．

4． 【答案】C

【解析】解：根据几何体的三视图，得；

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该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为

S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×=12+24π． 故选：C．

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．

5． 【答案】C

﹣π×）+×8π]

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e 故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

6． 【答案】B

7． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

8． 【答案】 D

+y2=1上的点，

【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：

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∴2a=4，b=1，c=；

222

，即x+y=（2c）=

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2=

．

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==故选D．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d2xy70，解得定点3,1，当点（3,1）

xy405，弦长

132212AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.

1111]

10．【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

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11．【答案】C 【解析】解：∵f（x）=

是R上的增函数，

∴，

解得：a∈[2，3）， 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性，正确理解分段函数单调性的含义是解答的关键．

12．【答案】A

4x3

【解析】解：由题意知log0.5（﹣）＞0且4x﹣3＞0， 由此可解得故选A．

，

二、填空题

13．【答案】x2y22

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

14．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

15．【答案】 114 ．

【解析】解：根据题目要求得出：

，即

，求得0＜x≤1，

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当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114． 故答案为：114

【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．

16．【答案】

【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2

17．【答案】8或﹣18

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．

22

【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）++y=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径 即

=1，求得m=8或﹣18

故答案为：8或﹣18 18．【答案】 50π ．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

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所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

；则这个球的表面积是：

=50π．

，

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）令t=∴f（t）=∴f（x）=

， （x≠1）…

，则x=

，

（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=

，

∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）在[2，6]上单调递减，…

∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…

x2y21；（2）F2MF2N[2,7). 20．【答案】（1）42【解析】

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题解析：（1）根据题意知ca22，即c21a22，

∴a2b2a212，则a22b2， 设P(x,y)，

∵PAPB(ax,y)(ax,y)，

x2a2y2x2a2a2x21(x2a2222)，

∵axa，∴当x0时，(PAPB)a2min22， ∴a24，则b22.

∴椭圆C的方程为x24y221. 第 13 页，共 18 页

试

11

11]

4(k21)42k2设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2，x1x2，

12k212k2∵F2M(x12,y1)，F2N(x22,y2)，

∴F2MF2Nx1x22(x1x2)2k2(x12)(x22)

(1k2)x1x2(2k22)(x1x2)2k22 4(k21)42k22(1k)2(k1)2k22 2212k12k97.

12k2121. ∵12k1，∴0212k9[2,7). ∴712k2综上知，F2MF2N[2,7).

2考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

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21．【答案】（1）xy10；（2）见解析；（3）见解析. 求得可得f'x【解析】试题分析：（1）当a2时，求出导数易得f'11，即k1，利用点斜式可得其切线方程；（2）

ax11a0a00a，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可

x22aaa得函数fx在1，，化简可得所证结论. 2上单调递减，故f1f1，即aln1xxxa试题解析：（1）当a2时，

112121fx2lnx1，f12ln110，f'x2，f'121，所以函数fx在点

x1xx110处的切线方程为y01x1，即xy10． 1，（2）fxalnx1a1ax11，定义域为0，，f'x22． xxxx1 a1 a①当a0时，f'x0，故函数fx在0，上单调递减； ②当a0时，令f'x0，得xx 10， a1， af'x fx  ↘ 0 极小值  ↗ 综上所述，当a0时，fx在0，上单调递减；当a0时，函数fx在0，上单调递减，在

1a1，上单调递增． a1111（3）当0a时，由（2）可知，函数fx在0，上单调递减，显然，2，故1，20，，

2aaaaa1所以函数fx在1，2上单调递减，对任意x，+，都有01，所以112．所以

xx21a1aaaa10，所以aln1，即ln1，所以f1f1，即aln1axxxxaxxa1xaa，即11lnxaln1xx22．【答案】

xaa1，所以1xxae．

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32

【解析】解：（1）∵f（x）=x+3ax+bx， 2

∴f'（x）=3x+6ax+b，

又∵f（x）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0， 解得：a=，b=1 经检验，合题意．

2

（2）由（1）得f'（x）=3x+4x+1，

令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1， 又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣

，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣

，

∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．

23．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x解得：a2 经检验 a2 满足题意 (x)2x试题解析：（1） f′所以 a2 ………………………………………4分

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12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx22lnxx2x6

2212x2xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分 （1-e)(1+e+2e3)12e8e4(2e21)4m(e）=0 ，m（e)0

e4e84m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 24．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）∵

22∴b=c

，∴a=

c，

= …

=2﹣

∴椭圆方程为又点A（1，∴

2∴c=2 ∴a=2，b=

+=1

）在椭圆上，

，

=1 …

=1，

∴椭圆方程为

=

﹣2

（Ⅱ）设直线BD方程为y=

2

与椭圆方程联立，可得4x+22

△=﹣8b+64＞0，∴﹣2

x+b，D（x1，y1），B（x2，y2）， bx+b2﹣4=0

=

，

＜b＜2

x1+x2=﹣∴|BD|=

b，x1x2=

设d为点A到直线y=∴△ABD面积S=

x+b的距离，∴d=

≤

当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立． 证明如下：k1+k2=

+

=2

，0）时，k1=

+m

，k2=

=2

﹣2

=0

当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件… 用，考查分析问题解决问题的能力．

【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应

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