二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程

一、二元一次方程的概念：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

注意：二元一次方程满足的三个条件：

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.

（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.

（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7；

211x4y5x10xy362x8y0y2；(7)；(8)2；(9)；(10)2．

(6)

x【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）

21y

A.xy71 B.2x13y1 C.4x5y3x5y D.

3x 1

二、二元一次方程的解：

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．

注意：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：

x2,y5.．

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

x2x4x1,,如：xy10的解可以是y8y6y9等等

练习2：二元一次方程x-2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )

x0x1x1x11yy1y02 B．A． C． D．y1

x2ax2y4【变式2】若方程的一个解是y1，则a= .

三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

2

3x10注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如x2y5 也是二元一

次方程组.

练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

13y2822x3y7xA. 5(x9)1y B. 2x37y

x13z5(xy)C. 2x3z7y D. 5(xy)(xy)83y1）72x（

四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，

xa一般写成yb的形式．

2xy5(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2xy6无解，xy1而方程组2x2y2的解有无数个．

【巩固练习】

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一、选择题

1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）

21y

A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．

3x2．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）

11x1x2y132xxyxy4xy51y31x1y2(x2y)x23A．zx3 B． C．3xy4 D．

x33. 以y1为解建立一个二元一次方程，不正确的是（ ）

1x25xy0y6 A．3x-4y＝5 B．3 C．x +2y＝-3 D．232xy34. 方程组xy3的解是（ ）

x1x2x1x2y1y2y1A． B． C． D．y3

6x5y11， ① 5.已知二元一次方程组3y2x7,　②，下列说法正确的是（）

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A.适合②的x,y的值是方程组的解①②

B.适合①的x,y的值是方程组的解

C.同时适合①和②的x,y的值不一定是方程组的解

D.同时适合①和②的x,y的值是方程组的解

6. 关于m,n的两个方程2mn3与3m2n1的公共解是（ ）

m0m0m11nA. n3 B. n1 C. 2 D.

1m2n2

二、填空题

7．由x+2y＝4，得到用y表示x的式子为x＝________；得到用x表示y的式子为y＝________．

xy48.在二元一次方程组2xm3y中，有x6，则y_____,m______.

9.若

x2(3y2x)20，则的值是 ．

xy10.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.

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11.已知，且，则___________.

x212.若方程ax-2y＝4的一个解是y1，则a的值是 .

三、解答题

x213．已知y3是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．

14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．

1（1）甲数的3比乙数的2倍少7；

3（2）摩托车的时速是货车的2倍，它们的速度之和是200km/h；

（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元

解二元一次方程

方法1.代入消元法解二元一次方程组

代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：

（1）变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知

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数表示出来；

（2）代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程（这一点要特别注意），求出另一个

未知数的值；

（4）写出方程组的解.

一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是1或常数项为0时，用代入法简便．

例2 解方程组

3x2y7,x2y5.①②

解析：由②，得 x52y. ③

将③代入①，得 3(52y)2y7，

156y2y7，8y8，y1.

把 y1代入③，得 x3.

x3,所以原方程组的解是y1.

点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x的系数是1，因此考虑将方程

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②变形，并用含y的代数式表示x. 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.

变式

x3y4,11xy0.2：用代入法解方程组：42①②

方法2.加减消元法解二元一次方程组

加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：

（1）变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；

（2）加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；

（3）代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值；

（4）写出方程组的解.

进行加减消元时，要注意做到以下几点：

a1xb1yc1,（1）当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a2xb2yc2的形式，

若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值（系数的最小公倍数的绝对值）相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式.

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（2）两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出.

（3）当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便．

例

①5m2n1,3 解方程组：7m3n16.②

③15m6n3,解析：法一：①×3，②×2，得14m6n32.④

③-④，得29m=-29，m=-1.

将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.

所以原方程组的解为

m1,n3.

③35m14n7,法二：①×7，②×5，得35m15n80.④

③+④，得29n=87，n=3.

把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1.

m1,所以原方程组的解为n3.

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点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等. 因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等. 比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数n，解法较为简捷. 另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理.

练习

（1） （3） （5）； 附加题

（7） （2）4）；

（6）

（8） 10

x2y1232x21y321

（