初中几何模型与解法--瓜豆原理

例1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP, Q为AP中点.当点P在圆0 上运动时，Q点轨迹是什么？

点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系？

【分析】

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，根 据三角形的中位线性质，半径MQ是0P一半，任意时刻，均有△AMQs^AOP, QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小结】

确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，由Q 为AP中点可得：

AM=1/2AO. Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

例2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ_L AP且AQ=AP.当点P 在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹 都是圆.接下来确定圆心

与半径.

【分析】

考虑APJ.AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMJ_ AO；

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO. 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOgZk AQM.

例3、如图，Z\\APQ是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆O运动时，Q点轨迹是?

【分析】

考虑APJ_AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMJ_AO： 考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1. 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOs4AQM,且相似比为2.

【模型要素】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”. 【条件】两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）： 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

【结论】

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也 等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

思考1

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边△APQ. 考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？

【分析】

Q点满足（1） ZPAQ=60°： （2） AP=AQ,故Q点轨迹是个圆：

考虑NPAQ=60。，可得Q点轨迹圆圆心M满足NMAO=60。：

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO. 即可确定圆M位置，任意时刻均有

△APOgAAQM.

z

【小结】

可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆0旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和 数量关系.

思考2

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ. 考虑：当点P在圆0上运动时，如何作出Q点轨迹？

【分析】

Q点满足(1) ZPAQ=45°： (2) AP:AQ=根号2： 1,故Q点轨迹是个圆.

连接A0,构造NOAM=45。且AO:AM=根号2： 1. M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有

△AOP^AAMQ.即可确定点Q的轨迹圆.

真题战场

1 .如图，点P(3,4),圆P半径为2, A (2.8.0) , B (5.6.0)，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点, 则AC的最小值是 _________ .

2 .如图，在等腰RtZ\\ABC中，AC=BC=2倍根号2,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点, 当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为.

3 .如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5, O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE, 将线段DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.

4 . ZkABC中，AB=4, AC=2,以BC为边在AABC外作正方形BCDE, BD、CE交于点O,则线段AO的 最大值为.

E D 【真题解析】

1 .【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点0, 以0为圆心，0C为半径作圆，即为点C轨迹.

当A、C、0三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O,利用两点间距离公式 求得OA,再减去0C即可.

2 .【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：

取AB中点0,连接C0取CO中点D,以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则 弧EF即为M

点轨迹.

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题.

3 .【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2,故E点轨迹是以0为圆心，2为半径的 圆.

考虑DE_LDF且DE=DF,故作DMJ_DO且DM=DO, F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆.

直接连接0M,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得 OM,减去MF即可得到OF的最小值.

4 .【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看成动线段，由此引发正 方形BCED的变化，求得线段AO的最大值.

根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.

接下来题目求A0的最大值，所以确定0点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹 是以点

A为圆心，2为半径的圆，所以0点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即 为点O轨迹

圆圆心.

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大，根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值 可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得A0.

此题方法也不止这一种，比如可以根据一一等边共顶点，构造旋转型全等，如下构造旋转，当A、C、A'共 线时，可得AO最大值.