2021-2022年高考数学5月模拟试卷 文（含解析）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={1，3，zi}，i为虚数单位，B={4}，A∪B=A，则复数z=（） A． ﹣2i
B． 2i C． ﹣4i D． 4i
2．（5分）有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（）
A． B． C．
D．
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
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A． 5
B． 3 C． 7 D． ﹣8
4．（5分）某班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若A高校某专业对视力的要求在1.1以上，则该班学生中能报A高校该专业的人数为（）
A． 10 B． 20 C． 8 D． 16
x
5．（5分）函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的区间是（） A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，3） 6．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
222222
A． （x+1）+（y﹣1）=2 B． （x﹣1）+（y+1）=2 C． （x﹣1）+（y﹣1）=2
22
D． （x+1）+（y+1）=2 7．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．（5分）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（） A． B． 1 C． 2 D． 4
2
9．（5分）设函数f（x）=x﹣2x+m，m∈R．若在区间上随机取一个数x，f（x）＜0的概率为，则m的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3 10．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a=2bcosA，B=，c=1，则△ABC的面积等于（） A． B． C． D．
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11．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x+y=a的切线，切点为E，延长FE
2
交抛物线y=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 12．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①f（x）=sin（x）；
2
②f（x）=2x﹣1；
x
③f（x）=|1﹣2|； ④f（x）=log2（2x﹣2）．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（） A． ①②③ B． ②③ C． ①③ D． ②③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
22
13．（4分）已知tanθ=2，则sinθ﹣sinθcosθ+cosθ=． 14．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．
x
15．（4分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=2；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log3）=． 16．（4分）点集{（x，y）|||x|﹣1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）从一批草莓中，随机抽取n个，其重量（单位：克）的频率分布表如下： 分组（重量） 19．（12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b5=25． （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和Sn． 20．（12分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，DE=，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合．
（Ⅰ）设面ABF与面CDE相交于直线l，求证：l∥CE；
（Ⅱ）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥A﹣BCEF的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．
222
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222
21．（12分）设P是圆x+y=a（a＞0）上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且（a＞b＞0）．
（Ⅰ）求证：点M的轨迹Γ是椭圆；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中椭圆Γ的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，C为线段AB的中点，当三角形CFO（O为坐标原点）的面积最大时，求直线l的方程． 22．（14分）已知函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：
（n∈N+，n≥2）．
福建省泉州五中xx高考数学模拟试卷（文科）（5月份） 参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={1，3，zi}，i为虚数单位，B={4}，A∪B=A，则复数z=（） A． ﹣2i B． 2i C． ﹣4i D． 4i
考点： 并集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 根据A∪B=A，得到zi=4，即可求出z的值． 解答： 解：∵集合A={1，3，zi}，B={4}，A∪B=A ∴zi=4，
解得：z=﹣4i． 故选C
点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．（5分）有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（）
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A． B． C． D．
考点： 程序框图；设计程序框图解决实际问题． 专题： 阅读型；图表型．
分析： 由已知中编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验，我们分析出程序的功能，进而分析出四个答案中程序流程图的执行结果，比照后，即可得到答案．
解答： 解：由于程序的功能是从编号为1，2，…，700的产品中，抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．
即抽取的结果为7，14，21，…，700，
A答案输出的结果为0，7，14，…，700，从0开始，故A不满足条件； B答案输出的结果为7，14，21，…，700，故B满足条件；
C答案输出的结果为0，7，14，…，693，从0开始，到693结束，故C不满足条件； D答案输出的结果为7，14，21，…，693，到693结束，故D不满足条件； 故选B
点评： 本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，其中分析出程序的功能及各流程图的输出结果，是解答本题的关键．
3．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A． 5 B． 3 C． 7 D． ﹣8
考点： 简单线性规划． 专题： 计算题．
分析： 首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．
解答： 解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7． 故选C．
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点评： 本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解． 4．（5分）某班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若A高校某专业对视力的要求在1.1以上，则该班学生中能报A高校该专业的人数为（）
A． 10 B． 20 C． 8 D． 16
考点： 频率分布直方图． 专题： 概率与统计．
分析： 通过频率分布直方图读取视力在1.1以上所占的比例，即可求出所需人数 解答： 解：由频率分布直方图可知，人数在1.1以上的比例为：（0.75+0.25）×0.2=0.2． 故视力在1.1以上的人数为50×0.2=10 故选：A
点评： 本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于基础题型．
x
5．（5分）函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的区间是（） A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，3）
考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由函数的解析式可得 f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，再根据函数零点的判定
x
定理可得函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的区间．
x
解答： 解：由于函数f（x）=e+x﹣2，且f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（）=﹣＞0，
x
可得函数f（x）=e+x﹣2的零点所在的区间是（0，）， 故选A．
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点评： 本题主要考查函数零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题． 6．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）
222222
A． （x+1）+（y﹣1）=2 B． （x﹣1）+（y+1）=2 C． （x﹣1）+（y﹣1）=2
22
D． （x+1）+（y+1）=2
考点： 圆的标准方程．
分析： 圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
解答： 解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D； 验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是； 圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误． 故选B．
点评： 一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究． 7．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析： 判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．
解答： 解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β， 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 故选B．
点评： 本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题． 8．（5分）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（） A． B． 1 C． 2 D． 4
考点： 基本不等式． 专题： 计算题．
分析： 由于a＞0，b＞0，a+2b=2，故可利用基本不等式求ab的最大值． 解答： 解：：∵a＞0，b＞0，a+2b=2 ∴
∴ab当且仅当a=2b=1即a=，b=1时取等号 ∴ab的最大值为 故选A
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点评： 本题以等式为载体，考查基本不等式，关键是注意基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等．
2
9．（5分）设函数f（x）=x﹣2x+m，m∈R．若在区间上随机取一个数x，f（x）＜0的概率为，则m的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3
考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．
分析： 本题符合几何概型，只要分别求出已知区间长度以及满足不等式的区间长度，再由根与系数的关系得到关于m的方程解之．
解答： 解：在区间上随机取一个数x对应的区间长度为6，而使f（x）＜0的概率为，即2
x﹣2x+m＜0的概率为，
2
得到使x﹣2x+m＜0成立的x的区间长度为4，即|x1﹣x2|=4，
2
所以（﹣4x1x2=16，
所以1﹣m=3，解得m=﹣3； 故选：D．
点评： 本题考查了几何概型的运用以及一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程的根的关系；属于中档题． 10．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a=2bcosA，B=，c=1，则△ABC的面积等于（） A． B． C． D．
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 由已知及正弦定理化简已知等式可得tanA=，结合A为三角形内角，可得A=B=C=，由三角形面积公式即可得解． 解答： 解：∵a=2bcosA，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinBcosA， ∵B=，可得sinA=cosA，
∴解得tanA=，A为三角形内角，可得A=，C=π﹣A﹣B=， ∴S△ABC=acsinB==． 故选：C．
点评： 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．
222
11．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x+y=a的切线，切点为E，延长FE
2
交抛物线y=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 综合题．
2
分析： 先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到
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|PF|=2b，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
解答： 解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
2
∵抛物线为y=4cx，
∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点， ∵
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线， ∵O为FF'的中点 ∴OE∥PF' ∵|OE|=a ∴|PF'|=2a ∵PF切圆O于E ∴OE⊥PF ∴PF'⊥PF， ∵|FF'|=2c ∴|PF|=2b 设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a
222222
由勾股定理 y+4a=4b∴4c（2a﹣c）+4a=4（c﹣a） 2
∴e﹣e﹣1=0 ∵e＞1 ∴e=． 故选B．
点评： 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题． 12．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①f（x）=sin（x）；
2
②f（x）=2x﹣1；
x
③f（x）=|1﹣2|； ④f（x）=log2（2x﹣2）．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（） A． ①②③ B． ②③ C． ①③ D． ②③④
考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．
解答： 解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=为函数的一个“可等域区间”，同时当A=时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．
②当A=时，f（x）∈，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=一个．
x
③A=为函数f（x）=|2﹣1|的“可等域区间”，
x
当x∈时，f（x）=2﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件，
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∴m，n取值唯一．故满足条件．
④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞）， 若存在“可等域区间”，则满足，即，
xxx
∴m，n是方程2﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2﹣2x+2，f′（x）=2ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
x
∴f（x）=2﹣2x+2=0不可能存在两个解，
故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”． 故选：B．
点评： 本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
22
13．（4分）已知tanθ=2，则sinθ﹣sinθcosθ+cosθ=．
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值． 解答： 解：∵tanθ=2，则sinθ﹣sinθcosθ+cosθ=
2
2
===，
故答案为：．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 14．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为﹣1．
考点： 向量的投影． 专题： 平面向量及应用．
分析： 根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞=求解． 解答： 解：向量，，根据投影的定义可得： 向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞===﹣1． 故答案为：﹣1．
点评： 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
x
15．（4分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=2；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log3）=．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
x
分析： 由已知中函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=2；当x＜4时f（x）=f（x+1），结合2+log3∈（0，1），可得f（2+log3）=f，结合对数的运算性质代入可得答案．
x
解答： 解：∵函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=2； 当x＜4时f（x）=f（x+1），
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又∵2+log3∈（0，1），
∴f（2+log3）=f=f（2+log3）=f（）==， 故答案为：
点评： 本题考查的知识点是分段函数，对数的运算性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 16．（4分）点集{（x，y）|||x|﹣1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是14．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 根据方程特点，判断函数的对称性根据对称性求出方程在第一象限的面积即可得到结论．
解答： 解：由于方程|||x|﹣1|+|y|=2 中，把x换成﹣x，方程不变，故方程表示的曲线关于y轴对称；
把y换成﹣y，方程也不变，故方程表示的曲线关于x轴及原点都对称， 即点集{（x，y）|||x|﹣1|+|y|=2}的图形关于x轴、y轴、及原点对称． 先考虑曲线位于第一象限及坐标轴上的情况．
令x≥0，y≥0，方程化为 y=2﹣|x|，表示线段AB 和BC，如图所示：
曲线在第一象限内围成的图形的面积等于直角梯形OABD的面积，加上直角三角形BDC的面积． 而直角梯形OABD的面积为=，直角三角形BDC的面积等于=2， 故曲线在第一象限内围成的图形的面积等于+2=， 故整条封闭折线所围成的区域的面积是4×=14， 故答案为：14
点评： 本题主要考查带有绝对值的函数的图象特征，函数的对称性的应用，体现了分类讨论与数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）从一批草莓中，随机抽取n个，其重量（单位：克）的频率分布表如下： 分组（重量）
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20．（12分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，DE=，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合．
（Ⅰ）设面ABF与面CDE相交于直线l，求证：l∥CE；
（Ⅱ）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥A﹣BCEF的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．
考点： 球的体积和表面积；平面的基本性质及推论． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）由已知可得CE∥BF，由线面平行的判定定理得到CE与平面ABF平行，再由线面平行的性质定理得到l∥CE；
（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面BCEF，故四棱锥A﹣BCEF是以平面BCEF为底面，以AF为高的棱锥，求出棱锥的体积，类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，可得答案． 解答： 证明：（Ⅰ）∵CECE∥BF，CE⊄面ABF，BF⊂面ABF ∴CE∥面ABF
又∵CE⊂面ACE，面ABF∩面ACE=l． ∴l∥CE…（6分）
（Ⅱ）∵AF=BF=BC=1，DE=，
2222
∴AE=DE=AF+FE， 即AF⊥EF，
又∵BF⊥AD于F，即AF⊥BF，EF，BF⊂平面BCEF，EF∩BF=F， ∴AF⊥平面BCEF，
故四棱锥A﹣BCEF是以平面BCEF为底面，以AF为高的棱锥， 故四棱锥A﹣BCEF的体积V=×1×1×1=，
四棱锥A﹣BCEF的表面积S=（1+1+1+）×1+×1×1+×1×=2+， 类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法， 设四棱锥A﹣BCEF的内切球半径为R， 则V=SR， 故R==
点评： 本题考查了线面平行、类比推理及棱锥的体积表面积公式，是立体几何的简单综合应用，难度中档．
222
21．（12分）设P是圆x+y=a（a＞0）上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且（a＞b＞0）．
（Ⅰ）求证：点M的轨迹Γ是椭圆；
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（Ⅱ）设（Ⅰ）中椭圆Γ的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，C为线段AB的中点，当三角形CFO（O为坐标原点）的面积最大时，求直线l的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xP，yP），由已知可得，由此能
求出C的方程；
（Ⅱ）由椭圆C可得c=，左焦点F的坐标．由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可．设直线l的方程为my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式可得yP，利用S△CFO=|OF|•|yC|和基本不等式即可得出． 解答： （Ⅰ）证明：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp）， 由已知（a＞b＞0），
可得
∵P在圆上， 222
∴x+（）=a， 即C的方程为+=1．
（Ⅱ）解：由椭圆C：+=1． ∴左焦点F（﹣c，0）．
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可， 设直线l的方程为my=x+c，A（x1，y1），B（x2，y2），
2222222
联立椭圆方程化为（a+bm）y﹣2bcmy﹣ab=0， ∴y1+y2=， ∴yC==，
∴S△CFO=|OF|•|yC|= =
≤=，
当且仅当|m|=时取等号． 此时△CFO的最大值为，
直线l的方程为±y=x+，即为 bx+ay+b=0或bx﹣ay+b=0．
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点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积最大值问题、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 22．（14分）已知函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围； （Ⅲ）证明：
（n∈N+，n≥2）．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列的求和． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ），（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间、极值； （II）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，对k分
类讨论研究其单调性即可得出；
2*
（Ⅲ），由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n（n∈N，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出． 解答： （Ⅰ）解：，（x＞0），， 即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值． （Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，
，
k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1， 则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
当k≤0时，g'（x）≥0；
当k＞0时，由g'（x）＞0得，
即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数； 当k＞0时，上为增函数；在上为减函数．
∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立， 即要求g（x）≤0恒成立， ∴k＞0符合，且
（Ⅲ）证明：，由（Ⅰ）知则（当且仅当x=1取等号）．
2*
令x=n（n∈N，n≥2），即，则有
，得k≥1．
，
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∴，
∴．
点评： 本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，考查了利用研究证明的结论证明不等式，考查了“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20782 512E 儮 27033 6999
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