2007年高考试题——数学文(上海卷)

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(文史类)

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．

请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，

每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．方程3x119的解是 ． 1932〖解析〗3x1x12x1

答案：x1． 2．函数f(x)1x1的反函数f1x11(x) ． y1y〖解析〗由yx(y0)f1xx1 （x0）x答案：

x1 ． （x0）x3．直线4xy10的倾斜角 ．

〖解析〗tan4,(答案：πarctan4． 4．函数ysecxcosxπ的最小正周期T22,)πarctan4.

．

.

〖解析〗ysecxcosx答案：． 5．以双曲线

x2π1(sinx)tanxT2cosx4y251的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点

的抛物线方程是 ．

〖解析〗双曲线

x24y251的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0），则抛物线的顶点为

（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)y12x。

2答案：y12x．

2

6．若向量a，b的夹角为60，ab1，则aab ．

1212〖解析〗aabaabaabcos601答案：

1222。

C1 B1

．

7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90， AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角

的大小是 （结果用反三角函数值表示）．

A1

C B

A

6，

〖解析〗A1C1AC,异面直线A1B与AC所成角为BA1C1，易求A1BcosBA1C1A1C1A1B1666BA1C1arccos66。

答案：arccos66．

5x，4天．四道工 8．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，， 序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C 完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是 ．

4〖解析〗因为A完成后，C才可以开工，C完成后，D才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为2，x，天，且A，B可以同时开工，该工程总时数为9天，2xmax49xmax3。

答案：3．

2，，34，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 9．在五个数字1， （结果用数值表示）．

〖解析〗剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是PC2C3C53213100.3．

答案：0.3．

10．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： ① a1a0； ② (ab)a2abb；

2222 ③ 若|a||b|，则ab； ④ 若aab，则ab．

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 〖解析〗对于①：解方程a

1a0得 a i，所以非零复数 a  i使得a1a0，①不成立；

②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则abab，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的所有序号是②④．

答案：②④．

11．如图，A，B是直线l上的两点，且AB2．两个半径

相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公 共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的 取值范围是 ．

A B C l

〖解析〗如图，当O1与O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形

Smax的面积减去两扇形面积，

12随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，212(1)2，

42ABO2O1

O1CO2当C到直线l的距离d0时,S0,S(0,2答案：0，2π22A]。

Bl．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a，bR，且2ai,b3i（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程

的两个根，那么a，b的值分别是（ ）

Ａ．a3，b2 Ｂ．a3，b2

Ｃ．a3，b2 Ｄ．a3，b2

〖解析〗 因为2 ai，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2 ai与bi

互为共轭复数，则 a=－3，b=2。选A．

答案：A．

13．圆xy2x10关于直线2xy30对称的圆的方程是（ ） Ａ．(x3)(y2)22222212

Ｂ．(x3)(y2)222212

Ｃ．(x3)(y2)2 Ｄ．(x3)(y2)2

2222〖解析〗圆xy2x10(x1)y2，圆心（1，0），半径2，关于直线2xy30对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2xy30上，C中圆

，验证适合，故选C． (x3)(y2)2的圆心为（－3，2）

答案：C．

1，1≤n≤1000，2n14．数列an中，an 则数列an的极限值（ 2n，n≥1001，2n2n22 ）

Ａ．等于0 Ｂ．等于1

n22

limＣ．等于0或1

112n1，选B．

Ｄ．不存在

〖解析〗limanlimnnn2nn答案：B．

15．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，

总可推出f(k1)≥(k1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若f(1)1成立，则f(10)100成立 Ｂ．若f(2)4成立，则f(1)≥1成立

Ｃ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 Ｄ．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

〖解析〗对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f(1)1成立，则不一定f(10)100成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f(2)4成立，则f(1)1成立，不能得出：．若f(2)4成立，则f(1)≥1成立；对C，当k=1或2时，不一定有fkk成立；

2对D，f42516,对于任意的k4，均有fkk成立。故选D．

2答案：D．

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）

如图,在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，

P

求正四棱锥PABCD的体积V．

〖解析〗作PO平面ABCD，垂足为O．连接AO， O是正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面

ABCD所成的角．

PAO＝60，PA2． PO3．

P AO1，AB V13POSABCD2，

133223．3D

AC

17．（本题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a2,B2255OB

Cπ4，

cos，求△ABC的面积S．

3〖解析〗由题意，得cosB，B为锐角，sinB545，

3π72 sinAsin(πBC)sin， B104由正弦定理得 c S12acsinB10712，

10745872．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际

安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

〖解析〗（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%． 则2006年全球太阳电池的年生产量为

6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则

解得x≥0.615．

1420(1x)442499.8(142%)≥95%．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．

已知函数f(x)x2ax

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

(x0，常数aR)．

（1）当a2时，解不等式f(x)f(x1)2x1；

（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由． 〖解析〗（1）x22x(x1)22x12x1，

2x2x10，

x(x1)0． 原不等式的解为0x1．

（2）当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)， f(x)(x)xf(x)， 22f(x)为偶函数．

当a0时，f(x)x2ax(a0，x0)，

取x1，得 f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0， f(1)f(，1)f(1)f，

 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，

第3小题满分9分．

a2，a3，，am（m为正整数）满足条件a1am，a2am1，„，ama1， 如果有穷数列a1，2，，m）即aiami1（i1，，我们称其为“对称数列”．

2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”例如，数列1，．

b2，b3，b4是等差数列，且b12，b411． （1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，依次写出bn的每一项；

c26，，c49是首项为1， （2）设cn是49项的“对称数列”，其中c25，公比为2的等比数列，求cn各项的和S；

d52，，d100是首项为2， （3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，

公差为3的等差数列．求dn前n项的和Sn(n1，，2，100)．

〖解析〗（1）设数列bn的公差为d，则b4b13d23d11，解得 d3， 数列bn为2，，，5811，，，852．

（2）Sc1c2c492(c25c26c49)c25

212222241222511226367108861． （3）d512，d10023(501)149．

d2，，d50是首项为149，公差为3的等差数列． 由题意得 d1， 当n≤50时，Snd1d2dn149nn(n1)2(3)32n23012n．

当51≤n≤100时，Snd1d2dnS50d51d52dn

37752(n50)(n50)(n51)2332n22992n7500

32301nn，1≤n≤50，22综上所述，Sn

3299n2n7500，51≤n≤100．22

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分， 第3小题满分9分．

我们把由半椭圆

xa22yb221 (x≥0)与半椭圆

yb22xc221 (x≤0)合成的曲线

称作“果圆”，其中a2b2c2，a0，bc0．

如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”

y 与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点． （1） 若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，

求该“果圆”的方程；

（2）设P是“果圆”的半椭圆

yb22B2 xc22A1 1

. . . O M . F2F0F1 B1 A2 x (x≤0)上任意一点．求证：当PM取得

最小值时，P在点B1，B2或A1处；

（2） 若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．

2222〖解析〗（1） F0(c，0)，F10，bc，F20，bc，

F0F2b2c2c472b1，F1F22bc221，于是c234，abc22274，

所求“果圆”方程为x2y21(x≥0)，y2（2）设P(x，y)，则

43x12(x≤0)．

22acb2(ac)222|PM|xb，c≤x≤0， y12x(ac)xc422 1bc220， |PM|的最小值只能在x0或xc处取到．

2 即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处． （3）yb22|A1M||MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆

(x≤0)xa22ybxa22221yb22(x≥0)和半椭圆上的情

xc221上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆

1(x≥0)形即可．

22222ca(ac)(ac)a(ac)ac222． |PM|xy2xb2224a2c4c22 当xa(ac)2c22≤a，即a≤2c时，|PM|的最小值在x2a(ac)2c22时取到，

此时P的横坐标是

a(ac)2c22．

当xa(ac)2c22a，即a2c时，由于|PM|在xa时是递减的，|PM|的最小值在xa时

22取到，此时P的横坐标是a．

综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是

a(ac)2c22；

若a2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或c．