初三数学《圆》专题

知识框架

专题:圆

专题一：圆基础

一、圆的相关概念

1．下列语句中正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等

D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 2．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆

B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线

D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 3．下列说法错误的是（ ）

A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧

二、垂径定理

1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）

A．3

B．2.5 C．2

D．1

2．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ） A．9cm B．6cm C．3cm D．

cm

3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）

A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5

4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）

A．

B．2

C．2

D．8

5．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）

A．AD=2OB B．CE=EO

C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD

cm，则OA= cm．

6.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2

7．在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为 ．

8．在半径为1的圆中，弦AB、AC分别

和

，则∠BAC= ．

三、圆周角定理

1．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（ ）

A．

B．

C．

D．2

2．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）

A．50° B．20° C．60° D．70°

3．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）

A．DE=EB

B．

DE=EB

C．

DE=DO

D．DE=O

4．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点在半圆上，H、K是直径AB上的点，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，已知弧AC为30°，弧BE为70°，则∠HDK=（ ）

A．30° B．40° C．70° D．80°

5．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）

A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长

6．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

四、内切圆与外接圆

1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）

A．50°

B．60°

C．80°

D．90°

2．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）

A．6

B．5

C．3

D．3

，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△

3．如图，在△ABC中，AB=AC=CDE的面积为（ ）

A． B．

C．

0

D．

4．⊙0是△ABC的外接圆，∠B=60，0P⊥AC于点P，OP=23，则⊙0的半径为( )． A.43 B.63 C.8 D.12 5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A.3 2B.3 3 C.3 D.

1 26．如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC80，则BOC（ ）

AOBC

A.130° B.100° C.50° D.65°

7．如图，O为RtABC的内切圆，ACB90，AC4，BC3，求内切圆半径r．

C3OBA

4

五、切线的性质

1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为 ．

2．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 s时，BP与⊙O相切．

3．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 ．

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（ ）

A．

B． C． D．

六、圆的相关计算

1．如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则

的长为（ ）

A．π B．π C．π D．π

2．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（ ）

A．8

cm B．8πcm

C．2

cm D．4πcm

的中点，点D在OB上，点E在OB

3．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的延长线上，当正方形CDEF的边长为2

时，则阴影部分的面积为（ ）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4

4．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（ ）

A．

B．（2﹣

）π C．

π D．π

专题二：圆多结论

1．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：

①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）

A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④

2．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：

①∠ABP=∠AOP；②

=

；③AC平分∠PAB；④2BE=PE•BF，

2

其中结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：

①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S△AQN=S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线． 其中正确的结论有（ ）

A．①②③④ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①②

4．如图，O是△ABC的外接圆的圆心，∠ABC=60°，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交⊙O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BD=BH，BG=BO，下列结论：①∠ABO=∠HBC；②AB•BC=2BF•BH；③BM=BD；④△GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④

5．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）

；④2BM=BE•BA；

2

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③

7．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD=BD•CD；②BE=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（ ）

2

2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．有下列结论：①MN=

；②若MN与⊙O相切，则AM=

；③若∠MON=90°，则MN与⊙O相切；④l1和l2的距离为2，其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个．

9．如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：

①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

10．如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，以AC为直径作⊙O交AB于D点，E为CD上的一个动点，过E作AE的垂线交BC的延长线于点F，连接AE、BE、EF，下列结论：

①AE=BE；②BE=EF；③∠EAC=∠EFC；④∠AED=AFB． 其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在△ABC中，BC=3①∠C一定是钝角； ②△ABC的外接圆半径为3； ③sinA=；

④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是

．

，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是 ．

专题三：圆证明

一、证切线与线段长

1．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC=3，CD=3

，求弦AD的长．

2．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．

3．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．

（1）求证：AG与⊙O相切； （2）若AC=5，AB=12，BE=

，求线段OE的长．

4．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．

（1）说明：AP是⊙O的切线； （2）若OC=CP，AB=6，求CD的长．

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

二、证切线与求半径

1．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．

（1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．

2．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AC=8，tan∠BAC=

，求⊙O的半径．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC．延长AD到E，使得∠EBD=∠CAB．

（1）如图1，若BD=2

，AC=6．

①求证：BE是⊙O的切线； ②求DE的长；

（2）如图2，连结CD，交AB于点F，若BD=2

，CF=3，求⊙O的半径．

三、证切线与三角函数

1．如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是线于点D，连接BE交AC于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长

（2）若cos∠CAD=，BF=15，求AC的长．

2．如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=6，tan∠DCB=，求AE的长．

3．已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=10，AC=6，求BD的长；

，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=

四、证切线与相似

1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是（1）求⊙O的半径r的长度；

上任意一点，AH=2，CH=4．

（2）求sin∠CMD；

（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3

，求EM的值．

上一点E作EG∥AC交CD的延长

3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求

的值；

（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．

4．如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F

（1）求证：ED是⊙O的切线； （2）求证：△CFP∽△CPD；

（3）如果CF=1，CP=2，sinA=，求O到DC的距离．

五、弧长和面积计算

1．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．

2．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为点F，连接DA．

（1）求证：EF为半圆O的切线； （2）若DA=DF=6

，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）

的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于

3．如图，AB是⊙O的直径，AB=4

，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙

O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：CB是∠ECP的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当

=时，求劣弧

的长度（结果保留π）

六、圆与二次函数综合

1．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=

x+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

2

（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 ； （2）如图2，求证：BD∥AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

2

2．如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；

（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

3．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x+bx+c经过点B，与直线y=﹣x+1交于点C（4，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．

（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

2

课后作业

1．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（ ）

A． 5cm B．6cm C．7cm D．8cm

2.如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．

3．如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC80，则BOC（ ） A.130°

BCB.100° C.50° D.65°

AO4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（ ）

A．﹣2≤x≤2

B．﹣2

＜x＜2

C．0≤x≤2

D．﹣2

≤x≤2

5．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．

B．

C．

D．

6．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是 ．（把所有正确的结论的序号都填上）

7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，DF=

，则CF= ．

8．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

（1）求证：DE与⊙O相切； （2）求证：BC=2CD•OE；

（3）若cosC=，DE=4，求AD的长．

2

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2

，求阴影部分的面积．